НЕРАВЕНСТВО

НЕРАВЕНСТВО: 1°. Н. числовое — высказывание вида или , где отношение — отношение строгого порядка, а отношение — отношение нестрогого порядка на некотором множестве чисел.

2°. Н. с переменной — высказывательная форма вида или , где или — высказывательная форма.

Множество значений переменной (или нескольких переменных), при которых высказывательная форма или истинна, называется множеством истинности этой формы или решением Н. с п.

Иногда Н. с. п. определяют менее формально, но более, может быть, доступно: Н.—два выражения, соединенные знаком неравенства ( — знаки Н.). Н., содержащее переменную, называется Н. с переменной.

Н., содержащее знак или , называют строгим; Н., содержащее знак или называют нестрогим. Отношения «меньше» и «больше» для чисел и взаимосвязаны: если , то ; если , то . К обеим частям истинного (верного) числового неравенства можно прибавлять одно и то же число, в результате получим истинное неравенство. Умножая обе части истинного числового Н. на положительное число , получим истинное неравенство ; если обе части истинного числового Н. умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится истинное неравенство .

Свойства Н. во многом аналогичны свойствам уравнений, названия многих Н. аналогичны также названиям соответствующих уравнений, например:

, — уравнение первой степени;

, — уравнение второй степени (квадратное уравнение);

, — алгебраическое уравнение n-й степени с одной переменной;

— логарифмическое (трансцендентное) уравнение.

, — Н. первой степени;

, или — Н. второй степени (квадратичное Н.);

(или ), — алгебраическое Н. п-й степени с одной переменной;

() — логарифмическое (трансцендентное) Н.

Иногда в математике используется особый знак Н. (значительно больше) или (значительно меньше). Понятие Н. широко используется в оценочных (приближённых) формулах во многих разделах математики.