НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (гауссово) (или распределение нормальной случайной величины ) — распределение вероятностей, задаваемое дифференциальным законом (функцией):

,

здесь  — математическое ожидание случайной величины ,  — среднеквадратическое отклонение ,  — плотность вероятности случайной величины  в точке . Графики функций  при различных ,  приведены на рисунке 21. Рисунок иллюстрирует зависимость кривых  от : вершина кривой имеет абсциссу , кривая симметрична относительно прямой , большему  соответствует пологая кривая, малому  — островершинная, крутая кривая; точки перегиба кривой имеют абсциссы . Площадь под каждой из кривых равна 1.

Рис. 21

Дифференциальная функция , задающая, нормальную случайную величину , позволяет вычислить вероятности  того, что случайная величина  примет свое значение в интервале :

.             (*)

Рис. 22

Формула (*) может быть истолкована в геометрических терминах: вероятность  численно равна площади криволинейной трапеции  (рис. 22). Поскольку первообразная функции  не является элементарной функцией, вычисление интегралов (*) производят с помощью таблиц функции

,

называемой Лапласа функцией. Именно:

, , .

Легко вычислить, что

,

,

.

Эти соотношения называют правилами одной, двух и трех сигм соответственно. Последняя формула означает, что событие  почти всегда наступает (). Такое событие называют практически достоверным событием.

Н. р., а также нормальная случайная величина называются также распределением Гаусса и гауссовой случайной величиной.

Н. р. играет исключительно важную роль в теории вероятности и математической статистике. Причиной этому являются те общие свойства случайных величин, которые формируются в предельных теоремах теории вероятностей и, в особенности, в центральной предельной теореме А. М. Ляпунова. Согласно этой теореме всякая случайная величина , равная сумме большого количества «мелких» независимых случайных величин, имеет распределение, близкое к Н. р. При этом на практике часто встречаются случайные величины  с указанным выше свойством, что позволяет считать распределение случайной величины  близким к Н. р.

Совместное распределение нескольких случайных величин называется многомерным Н. р., если дифференциальный закон этого распределения имеет вид:

,

где ,  — положительно определенная квадратическая форма.

Постоянная  такова, что интеграл  по всему пространству равняется единице. Числа  являются математическими ожиданиями случайных величин  соответственно, а коэффициент  выражается через дисперсии  этих величин и через коэффициенты корреляции  величин ; .

Классическими примерами, связанными с Н. р., являются задача о броуновском движении, задача о распределении ошибок наблюдения (К. Ф. Гаусс), задача о распределении скоростей молекул (Дж. К. Максвелл).