- ÎÁËÀÑÒÜ ÇÀÌÊÍÓÒÀß
- ÎÁËÀÑÒÜ ÇÍÀ×ÅÍÈÉ ÔÓÍÊÖÈÉ
- ÎÁËÀÑÒÜ ÈÇÌÅÍÅÍÈß ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÎÁËÀÑÒÜ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÎÁËÀÑÒÜ ÎÒÊÐÛÒÀß
- ÎÁËÀÑÒÜ ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÈ
- ÎÁÎÁÙÅÍÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÁÐÀÇ
- ÎÁÐÀÇÓÞÙÀß ÏÐßÌÎËÈÍÅÉÍÀß
- ÎÁÐÀÒÈÌÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÁÐÀÒÈÌÎÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÅ
- ÎÁÐÀÒÍÀß ÌÀÒÐÈÖÀ
- ÎÁÐÀÒÍÀß ÏÐÎÏÎÐÖÈÎÍÀËÜÍÎÑÒÜ
- ÎÁÐÀÒÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ
- ÎÁÐÀÒÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÁÐÀÒÍÎÅ ÎÒÍÎØÅÍÈÅ
- ÎÁÐÀÒÍÎÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÅ
- ÎÁÐÀÒÍÎÅ ÑÎÎÒÂÅÒÑÒÂÈÅ
- ÎÁÐÀÒÍÎÅ ×ÈÑËÎ
- ÎÁÐÀÒÍÛÅ ÃÈÏÅÐÁÎËÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÎÁÐÀÒÍÛÅ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÎÁÙÀß ÌÅÐÀ
- ÎÁÙÅÅ ÍÀÈÌÅÍÜØÅÅ ÊÐÀÒÍÎÅ
- ÎÁÙÈÉ ÄÅËÈÒÅËÜ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÎÂ
- ÎÁÙÈÉ ÍÀÈÁÎËÜØÈÉ ÄÅËÈÒÅËÜ
- ÎÁÙÍÎÑÒÈ ÊÂÀÍÒÎÐ
- ÎÁÚÅÄÈÍÅÍÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂ
- ÎÁÚÅÌ
- ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÀß ÄÐÎÁÜ
- ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÀß ÒÎ×ÊÀ
- ÎÂÀËÛ
- ÎÃÈÁÀÞÙÀß
- ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÀß ÂÅËÈ×ÈÍÀ
- ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÀß ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜ
- ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ
- ÎÄÍÎËÈÑÒÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÄÍÎËÈÑÒÍÎÑÒÈ ÎÁËÀÑÒÜ
- ÎÄÍÎÏÎËÎÑÒÍÛÉ ÃÈÏÅÐÁÎËÎÈÄ
- ÎÄÍÎÐÎÄÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÎÄÍÎÐÎÄÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
- ÎÄÍÎÐÎÄÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
- ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÛ
- ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÉ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍ
- ÎÄÍÎÑÂßÇÍÀß ÎÁËÀÑÒÜ
- ÎÄÍÎÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ
- ÎÄÍÎÑÒÎÐÎÍÍÈÉ ÏÐÅÄÅË
- ÎÄÍÎÑÒÎÐÎÍÍßß ÊÀÑÀÒÅËÜÍÀß
- ÎÄÍÎÑÒÎÐÎÍÍßß ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß
- ÎÄÍÎ×ËÅÍ
- ÎÊÐÅÑÒÍÎÑÒÜ ÒÎ×ÊÈ
- ÎÊÐÓÃËÅÍÈÅ ÄÅÉÑÒÂÈÒÅËÜÍÎÃÎ ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÎÃÎ ×ÈÑËÀ
- ÎÊÐÓÃËÅÍÈß ÒÎ×ÊÀ
- ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÈ ÊÎÍÖÅÍÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ
- ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÜ
- ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÜ ÀÏÎËËÎÍÈß
- ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÜ ÄÅÂßÒÈ ÒÎ×ÅÊ
- ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÜ ÊÐÈÂÈÇÍÛ
- ÎÊÒÀÍÒ
- ÎÊÒÀÝÄÐ
- ÎÏÅÐÀÒÎÐ
- ÎÏÅÐÀÒÎÐÎÂ ÒÅÎÐÈß
- ÎÏÅÐÀÖÈÎÍÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ
- ÎÏÅÐÀÖÈß n-ÀÐÍÀß
- ÎÏÈÑÀÍÍÛÅ ÔÈÃÓÐÛ
- ÎÏÎÐÍÀß ÏËÎÑÊÎÑÒÜ
- ÎÏÎÐÍÀß ÏÐßÌÀß
- ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÎÍßÒÈß
- ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÉ ÈÍÒÅÃÐÀË
- ÎÏÐÅÄÅËÈÒÅËÜ
- ÎÐÄÈÍÀËÜÍÎÅ ×ÈÑËÎ
- ÎÐÄÈÍÀÒÀ
- ÎÐÈÅÍÒÀÖÈß
- ÎÐÈÅÍÒÈÐÓÅÌÛÅ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ
- ÎÐÈÑÔÅÐÀ
- ÎÐÈÖÈÊË
- ÎÐÒ
- ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÀß ÌÀÒÐÈÖÀ
- ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÀß ÏÐÎÅÊÖÈß
- ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
- ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ
- ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÎÐÒÎÍÎÐÌÈÐÎÂÀÍÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÔÓÍÊÖÈÉ
- ÎÐÒÎÖÅÍÒÐ
- ÎÑÅÂÀß ÑÈÌÌÅÒÐÈß
- ÎÑÅÂÎÉ ÂÅÊÒÎÐ
- ÎÑÍÎÂÀÍÈÅ ÏÈÐÀÌÈÄÛ
- ÎÑÍÎÂÀÍÈÅ ÏÎÇÈÖÈÎÍÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ×ÈÑËÅÍÈß
- ÎÑÍÎÂÀÍÈÅ ÑÒÅÏÅÍÈ
- ÎÑÍÎÂÀÍÈÅ ÒÐÅÓÃÎËÜÍÈÊÀ
- ÎÑÍÎÂÀÍÈß ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ
- ÎÑÍÎÂÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ ÀËÃÅÁÐÛ
- ÎÑÎÁÀß ÒÎ×ÊÀ
- ÎÑÎÁÅÍÍÀß ÌÀÒÐÈÖÀ
- ÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÉ ×ËÅÍ
- ÎÑÒÐÎÃÐÀÄÑÊÎÃÎ ÌÅÒÎÄ
- ÎÑÒÐÎÃÐÀÄÑÊÎÃÎ ÔÎÐÌÓËÀ
- ÎÑÒÐÛÉ ÓÃÎË
- ÎÑÜ ÑÈÌÌÅÒÐÈÈ
- ÎÑÜ ÑÈÌÌÅÒÐÈÈ (n-ãî ïîðÿäêà)
- ÎÑÜ ×ÈÑËÎÂÀß
- ÎÒÊÐÛÒÀß ÎÁËÀÑÒÜ
- ÎÒÊÐÛÒÎÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ
- ÎÒÊÐÛÒÛÉ ÏÀÐÀËËÅËÅÏÈÏÅÄ
- ÎÒÊÐÛÒÛÉ ØÀÐ
- ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÀß ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÜ
- ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
- ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÛÉ ÌÀÊÑÈÌÓÌ
- ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÛÉ ÌÈÍÈÌÓÌ
- ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÛÉ ÝÊÑÒÐÅÌÓÌ
- ÎÒÍÎØÅÍÈÅ
- ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÅ
- ÎÒÐÅÇÎÊ
- ÎÒÐÈÖÀÍÈÅ
- ÎÒÐÈÖÀÒÅËÜÍÎ-ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÀß ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÀß ÔÎÐÌÀ
- ÎÒÐÈÖÀÒÅËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
- ÎØÈÁÊÀ ÎÊÐÓÃËÅÍÈß
ÎÁÚÅÌ
ÎÁÚÅÌ — íåîòðèöàòåëüíàÿ àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà òî÷åê òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà (â îáîáùåíèÿõ — n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà), íå ìåíÿþùàÿñÿ ïðè ëþáûõ äâèæåíèÿõ ïðîñòðàíñòâà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåêîòîðûì ìíîæåñòâàì òî÷åê òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ñòàâÿòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, íàçûâàåìûå Î., ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà (àêñèîìû):
1. Êîíãðóýíòíûå ìíîæåñòâà èìåþò ðàâíûå îáúåìû (ñâîéñòâî èíâàðèàíòíîñòè).
2. Î. îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà (ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà) ìíîæåñòâ (ôèãóð, òåë), íå èìåþùèõ îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, ðàâåí ñóììå îáúåìîâ ýòèõ ìíîæåñòâ — ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè (ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè).
3. Çíà÷åíèå Î. åäèíè÷íîãî êóáà (äëèíà ðåáðà êóáà ðàâíà 1) ðàâíî åäèíèöå. Èç ñâîéñòâ Î. ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî Î. ïðàâèëüíîé ÷àñòè ìíîæåñòâà òî÷åê (ôèãóðû, òåëà) íå áîëüøå Î. âñåãî ìíîæåñòâà òî÷åê.
Î. åñòü ìåðà êîëè÷åñòâà ïðîñòðàíñòâà, çàíèìàåìîãî òî÷êàìè ìíîæåñòâà (òåëà, â ÷àñòíîñòè). Ê îïèñàííîìó îïðåäåëåíèþ Î. ïðèâîäÿò èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ îá èçìåðåíèè ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà.
Åñëè òåëî, Î. êîòîðîãî ìû èçìåðÿåì, íå
ìîæåò áûòü ñîñòàâëåíî èç êîíå÷íîãî ÷èñëà åäèíè÷íûõ êóáîâ, òî ïîñòóïàåì òàê: çàïîëíÿåì
äàííîå òåëî êóáèêàìè ñî ñòîðîíîé òàê, ÷òîáû äâà ñîñåäíèõ êóáà èìåëè îáùóþ
ãðàíü, äî òåõ ïîð ïîêà íåëüçÿ áóäåò äîáàâèòü íè îäíîãî êóáà ñî ñòîðîíîé
áåç òîãî, ÷òîáû
íå âûéòè çà ãðàíèöó òåëà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàññìàòðèâàåì ìíîæåñòâî êóáèêîâ,
ïðèìûêàþùèõ äðóã ê äðóãó, êàê îïèñàíî âûøå, ïîêðûâàþùèõ âñå òî÷êè òåëà, è
òàêèõ ÷òî êàæäûé èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ òåëîì. Èõ Î. îáîçíà÷èì ÷åðåç
; Î., çàíèìàåìûé
âíóòðåííèìè êóáèêàìè, îáîçíà÷èì
. Òîãäà Î. òåëà ðàâåí
ïðè âñåâîçìîæíûõ ñïîñîáàõ çàïîëíåíèÿ
òåëà êóáèêàìè. Êîíå÷íî, íå äëÿ âñÿêîãî òåëà ñóùåñòâóåò
è íå âñåãäà
. Ïîýòîìó Î. îïðåäåëÿåòñÿ íå äëÿ
âñåõ òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Î. îáîáùàåòñÿ â ïîíÿòèè
ìåðû ìíîæåñòâà. Òå ìíîæåñòâà, êîòîðûå íå èìåþò ìåðû (îáúåìà), íàçûâàþòñÿ
íåèçìåðèìûìè. Äâà òåëà, èìåþùèå ðàâíûå Î., íàçûâàþòñÿ, ðàâíîâåëèêèìè.
Äâà ðàâíîñîñòàâëåííûõ ìíîãîãðàííèêà ðàâíîâåëèêè, íî îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ,
êàê ïîêàçàë íåìåöêèé ìàòåìàòèê Äåí (1901), íåâåðíî: ñóùåñòâóþò ðàâíîâåëèêèå
ìíîãîãðàííèêè, êîòîðûå íå ðàâíîñîñòàâëåíû.
Ïðèìåðû. 1.Î.
ïèðàìèäû ðàâåí ,
ãäå
— ïëîùàäü
îñíîâàíèÿ,
—
âûñîòà (èëè åå äëèíà).
2.
Î. ìíîãîãðàííèêà, â êîòîðûé ìîæíî âïèñàòü ñôåðó, ðàâåí , ãäå
— ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü ìíîãîãðàííèêà, a
— ðàäèóñ
âïèñàííîé ñôåðû.
3.
Î. òåëà, ïîëó÷åííîãî âðàùåíèåì êðèâîé ,
,
âîêðóã îñè Îõ, ðàâåí
.
Ñì. òàêæå: Äëèíà îòðåçêà, Äëèíà êðèâîé, Ïëîùàäü.