ПАРАДОКС

ПАРАДОКС в математике — верное утверждение (высказывание), но кажущееся на первый взгляд неверным в силу наших обычных и привычных психологических представлений.

Примеры. 1. Уравнение  имеет три корня. Утверждение на первый взгляд кажется невероятным, парадоксальным. В самом деле, мы по существу имеем уравнение  (, ), функция (значения ее) равна своей обратной (значению обратной функции). Однако при  это уравнение имеет три корня. Читатель сам может это проверить, хотя это и не так легко.

2. Сумма условно сходящегося ряда изменяется от перестановки его членов (см. Условная сходимость бесконечного ряда).

3. Если лист (ленту) Мёбиуса разрезать ножницами по его «средней» линии, то он не распадется на две части.

4. При вращении (повороте) прямоугольника  (рис. 45) вокруг оси , лежащей в его плоскости и параллельной одной из его сторон , объем тела, полученного от вращения треугольника , больше объема тела, полученного от вращения треугольника .

Рис. 45

П. называют иногда и софизмы, а также неверные выводы, полученные на основании использования таких понятий и рассуждений, границы применимости которых неизвестны: например, при перенесении свойств конечных множеств на бесконечные множества можно получить неверные (парадоксальные) выводы; общеизвестен также П. геометрической вероятности, парадокс, принадлежащий Ж. Бертрану (1907) и состоящий, в том, чтобы найти вероятность того, что длина «случайной хорды» окружности единичного радиуса превзойдет , т. е. длину стороны равностороннего треугольника (три решения этой задачи дают три различных ответа).