ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД: 1°. П. в n-мерном пространстве — множество точек n-мерного пространства, удовлетворяющих неравенствам: , где — действительные числа. Точка называется центром П. В случае выполнения строгих неравенств множество точек называется открытым параллелепипедом или полиинтервалом. П. называют также замкнутым, чтобы подчеркнуть его отличие от открытого П. Точки П., не являющиеся точками соответствующего открытого П., образуют совокупность граней П. Отдельная грань П. определяется неравенствами:

и равенством (или ). П. имеет граней, так как индекс может меняться от 1 до . В пространстве () П. совпадает с обычным прямоугольным параллелепипедом. На плоскости () П. превращается в прямоугольник; грани в этом случае превращаются в стороны прямоугольника.

2°. П. (в школьном курсе элементарной геометрии) — призма, основанием которой является параллелограмм. Если боковые ребра (или грани) П. перпендикулярны плоскости основания, то П. называется прямым. Если боковые ребра (или грани) П. не перпендикулярны плоскости основания, то такой, П. называется наклонным. Если основание прямого П. — прямоугольник, то такой П. называется прямоугольным. У прямоугольного П. все грани — прямоугольники. Длины трех ребер прямоугольного П., имеющих общую вершину, называются его измерениями (в некоторых книгах — линейными размерами). Квадрат длины диагонали прямоугольного П. равен сумме квадратов трех его измерений. Всякий П. имеет центр симметрии — точку пересечения его диагоналей. Диагонали прямоугольного П. конгруэнтны. Прямоугольный П. с равными измерениями называется кубом.

У куба все грани — конгруэнтные квадраты. Симметричность куба богаче, чем симметричность прямоугольного П. или наклонного П., он имеет оси симметрии не только 2-го порядка (обычные оси симметрии), но и оси симметрии 3-го и 4-го порядка. Площадь боковой поверхности П. вычисляется по формуле

где — периметр перпендикулярного сечения, a — длина бокового ребра П. Объем П. равен:

где — площадь основания, а — высота П. (расстояние между основаниями). Наклонный П. является пространственным аналогом параллелограмма, не являющегося прямоугольником.

Наклонный П., у которого все грани — конгруэнтные ромбы, называется ромбоэдром. П. является выпуклым многогранником (выпуклой фигурой).