ПАСКАЛЯ ТЕОРЕМА

ПАСКАЛЯ ТЕОРЕМА в проективной геометрии — теорема: во всяком шестивершиннике, вписанном в ряд точек 2-го порядка (кривую 2-го порядка, коническое сечение), три точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой — прямой Паскаля. П. т. является одной из основных теорем проективной геометрии. Содержание П. т. хорошо иллюстрируется на рисунке 47: если 6 вершин, взятых произвольно на кривой 2-го порядка, занумеровать цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 в порядке, указанном на рисунке, то пары сторон 12 и 45; 23 и 56; 34 и 61 будут противоположными и три точки пересечения их и будут лежать на одной прямой — прямой Паскаля.

Рис. 47

Из 6 точек — вершин шестивершинника, лежащих на кривой 2-го порядка, можно получить 60 различных шестивершинников, если соединять данные точки в различном порядке, откуда следует, что для данных 6 точек кривой 2-го порядка можно получить соответственно 60 различных прямых Паскаля.

П. т. названа в честь французского математика Б. Паскаля (1623—1662), доказавшего ее в 1639 г., когда Блезу Паскалю было шестнадцать лет. Опубликована П. т. была в 1641 г. П. т. оказала большое влияние на Дезарга. Частный случай П. т. для кривой 2-го порядка, распадающейся на пару пересекающихся прямых, был известен еще в древности (теорема Паппа, IV в. н. э.).

П. т. о вписанном в кривую 2-го порядка шестиугольнике, как и Дезарга теорема, часто используется для геометрических построений: с помощью П. т. можно строить точки кривой 2-го порядка, если заданы 5 ее точек или 4 точки кривой и касательная к кривой в одной из них, пользуясь при этом только одной линейкой (односторонней математической линейкой); можно строить касательные к кривой в данной ее точке, если кривая начерчена или задана пятью точками, пользуясь опять-таки лишь одной линейкой. В частности,, можно построить касательную к начерченной окружности с помощью только одной линейки (см.: Поляра точки относительно кривой 2-го порядка).