ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ. П. м.  и  называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству , так и множеству , т. е. оно состоит из всех общих для множеств  и  элементов. П. м.  и  обозначается символом  (или ) и называется также произведением множеств  и . (Этот термин устарел.) П. м.  и  схематически изображено на рисунке 49 дважды заштрихованной областью.

Рис. 49

Аналогично, если даны множества , где  пробегает конечное или бесконечное множество индексов то П. м.  () называется множество, состоявшее из тех и только тех элементов, которые принадлежат всем , т. е. каждому  при любом . П. м.  () обозначается символом  (или ), а в случае, когда множество  конечно и состоит из  чисел , П. м.  обозначается символом  или , или . Если  — счетное множество и состоит из чисел натурального ряда , то П. м.  обозначается символом  (или ; или  или ).

П. м. является одной из важнейших операций над множествами. Для сравнения ее с другими операциями.

П. м. может быть пустым множеством. Такие множества, для которых П. м. пусто, называются непересекающимися. П. м. удовлетворяет законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности: ; ; . П. м. связано с объединением множеств двумя законами дистрибутивности:

,

.

Эти два закона дистрибутивности двойственны.

Примеры. 1. Пусть  — множество всех четных чисел и  — множество всех чисел, кратных 3. Тогда  — множество чисел, кратных 6.

2.  — множество всех окружностей и  — множество всех эллипсов с длиной большой полуоси, равной 1. Тогда  — множество всех окружностей единичного радиуса.