ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ. Пусть — некоторая ограниченная область на гладкой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве и — функция, определенная в ; пусть далее ; разбиение в сумму непересекающихся подмножеств (ячеек), — площадь фигуры (предполагается, что все определены), , — диаметр множества , — диаметр разбиения .

П. и. первого рода функции по поверхности обозначается , и по определению (*) 3десь предполагается, что предел в правой части формулы существует при любом выборе точек и любом способе измельчения разбиения , лишь бы только .

К вычислению пределов вида (*) сводятся многие задачи из геометрии, фи- зики и других наук.

П. и. обладает следующими свойствами: 1) при любых функциях и на , для которых существуют интегралы правой части формулы. 2) для любого числа . 3) для всякой на где и — непересекающиеся множества. 4) Если на , , существуют, то . 5) Для связной области и непрерывной функции справедливо соотношение , где — некоторая точка из , — площадь . 6) .

Если область ограничена и замкнута и непрерывна, то существует (если гладкость поверхности не меньше класса ).

П. и. может быть сведен к двойному интегралу по формуле

. (**)

Здесь поверхность предполагается заданной параметрически , — коэффициенты первой квадратической формы поверхности. , , , , — частные производные векторной функции по параметрам и , — скалярное произведение.

В том частном случае, когда поверхность задана уравнением , , формула (**) имеет вид: ; здесь — частные производные функции по соответственно.

П. и. первого ряда называются также П. и. по площади поверхности. Для определения П. и. второго рода сохраним все обозначения, введенные в начале статьи, изменив только смысл . Именно будем считать, что — площадь проекции ячейки на координатную плоскость , взятая со знаком «плюс» или «минус», находится в соответствии с таким соглашением. Пусть область ориентирована (см. Ориентируемые поверхности), т. е. в каждой точке выбрано одно из двух возможных направлений нормали, т. е. выбран единичный вектор нормали, причем выбор этот сделан таким образом, что непрерывно зависит от . Положим равным площади ячейки , умноженной на , где — угол между векторами и единичным ортом оси .

П. и. второго рода функции по ориентированной поверхности (+ означает ориентацию) по координатам , обозначаются , и по определению . Аналогичным образом определяются П. и. второго рода по координатам и : , . Рассматривают выражения , понимая их как сумму трех интегралов от функции по координатам соответственно.

П. и. второго рода определены только для ориентируемых поверхностей. П. и. второго рода обладают свойствами, аналогичными перечисленным выше свойствам П. и. первого рода. Кроме этого, имеет место

Здесь — поверхность с ориентацией, противоположной ориентации .

П. и. второго рода может быть сведен к двойному интегралу по следующему правилу:

где — уравнение поверхности , — область на плоскости , в которую проектируется ; в формуле выбирается знак «+», если , и знак «минус» в противном случае. Если меняет знак в области , то область разбивают на части, в которых сохраняет постоянный знак.