- ÏÀËÎ×ÊÈ ÍÅÏÅÐÀ
- ÏÀÍÒÎÃÐÀÔ
- ÏÀÏÈÐÓÑÛ
- ÏÀÐÀÁÎË ÔÎÐÌÓËÀ
- ÏÀÐÀÁÎËÀ
- ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÀß ÑÏÈÐÀËÜ
- ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÀß ÒÎ×ÊÀ
- ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÈÉ ÖÈËÈÍÄÐ
- ÏÀÐÀÁÎËÎÈÄÛ
- ÏÀÐÀÄÎÊÑ
- ÏÀÐÀËËÅËÅÏÈÏÅÄ
- ÏÀÐÀËËÅËÅÏÈÏÅÄÀËÜÍÀß ÎÊÐÅÑÒÍÎÑÒÜ
- ÏÀÐÀËËÅËÎÃÐÀÌÌ
- ÏÀÐÀËËÅËÜÍÀß ÏÐÎÅÊÖÈß
- ÏÀÐÀËËÅËÜÍÎÑÒÜ
- ÏÀÐÀËËÅËÜÍÛÅ ÏÐßÌÛÅ
- ÏÀÐÀËËÅËÜÍÛÉ ÏÅÐÅÍÎÑ
- ÏÀÐÀÌÅÒÐ
- ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß
- ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ
- ÏÀÐÑÅÂÀËß ÐÀÂÅÍÑÒÂÎ
- ÏÀÑÊÀËß ÒÅÎÐÅÌÀ
- ÏÀÑÊÀËß ÒÐÅÓÃÎËÜÍÈÊ
- ÏÀØÀ ÀÊÑÈÎÌÀ
- ÏÅÀÍÎ ÀÊÑÈÎÌÛ
- ÏÅÀÍÎ ÊÐÈÂÀß
- ÏÅËËß ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
- ÏÅÍÒÀÃÎÍÀËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
- ÏÅÐÂÎÎÁÐÀÇÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÏÅÐÂÎÎÁÐÀÇÍÛÉ ÊÎÐÅÍÜ
- ÏÅÐÂÓØÈÍÀ ×ÈÑËÎ
- ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅ×ÀÒÅËÜÍÛÉ ÏÐÅÄÅË
- ÏÅÐÂÛÉ ÈÍÒÅÃÐÀË
- ÏÅÐÅÃÈÁÀ ÒÎ×ÊÀ
- ÏÅÐÅÌÅÍÍÀß ÂÅËÈ×ÈÍÀ
- ÏÅÐÅÌÅÑÒÈÒÅËÜÍÛÉ ÇÀÊÎÍ
- ÏÅÐÅÌÅÙÅÍÈÅ
- ÏÅÐÅÑÅ×ÅÍÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂ
- ÏÅÐÅÑÒÀÍÎÂÊÀ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈÉ
- ÏÅÐÅÑÒÀÍÎÂÊÀ Ñ ÏÎÂÒÎÐÅÍÈßÌÈ
- ÏÅÐÅÑÒÀÍÎÂÊÀ ÑÈÌÂÎËÎÂ
- ÏÅÐÈÌÅÒÐ ÌÍÎÃÎÓÃÎËÜÍÈÊÀ
- ÏÅÐÈÎÄ ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÀß ÄÐÎÁÜ
- ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÏÅÐÏÅÍÄÈÊÓËßÐ
- ÏÅÐÑÏÅÊÒÈÂÀ
- ÏÈ-×ÈÑËÎ
- ÏÈÐÀÌÈÄÀ
- ÏÈÔÀÃÎÐÀ ÒÅÎÐÅÌÀ
- ÏÈÔÀÃÎÐÀ ×ÈÑËÀ
- ÏËÀÍÈÌÅÒÐ
- ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß
- ÏËÎÑÊÀß ÊÐÈÂÀß
- ÏËÎÑÊÎÑÒÜ
- ÏËÎÒÍÎÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ
- ÏËÎÒÍÎÑÒÈ ÒÎ×ÊÀ
- ÏËÎÒÍÎÑÒÜ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ
- ÏËÎÙÀÄÜ
- ÏËÞÑ
- ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ ÂÐÀÙÅÍÈß
- ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÛÉ ÈÍÒÅÃÐÀË
- ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÜ
- ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÜ ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ
- ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÜ ÓÐÎÂÍß
- ÏÎÂÎÐÎÒ
- ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÜ
- ÏÎÄÀËÃÅÁÐÀ
- ÏÎÄÃÐÓÏÏÀ
- ÏÎÄÊÎËÜÖÎ
- ÏÎÄÌÍÎÆÅÑÒÂÎ
- ÏÎÄÎÁÈÅ
- ÏÎÄÎÁÈß ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
- ÏÎÄÎÁÍÛÅ ÔÈÃÓÐÛ
- ÏÎÄÎÁÍÛÅ ×ËÅÍÛ
- ÏÎÄÏÎËÅ
- ÏÎÄÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜ
- ÏÎÄÑÈÑÒÅÌÀ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
- ÏÎÄÑÒÀÍÎÂÊÀ
- ÏÎÄÕÎÄßÙÀß ÄÐÎÁÜ
- ÏÎÇÈÖÈÎÍÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ Ñ×ÈÑËÅÍÈß
- ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜ ÑÒÅÏÅÍÈ
- ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß
- ÏÎÊÐÛÒÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
- ÏÎËÅ
- ÏÎËÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ×ÈÑÅË
- ÏÎËÈÂÅÊÒÎÐ
- ÏÎËÈËÈÍÅÉÍÀß ÔÎÐÌÀ
- ÏÎËÈÍÎÌ
- ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÀß ÒÅÎÐÅÌÀ
- ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÛÅ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÛ
- ÏÎËÈÝÄÐ
- ÏÎËÍÀß ÊÐÈÂÈÇÍÀ
- ÏÎËÍÀß ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß
- ÏÎËÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÀÊÑÈÎÌ
- ÏÎËÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÂÛ×ÅÒÎÂ
- ÏÎËÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÔÓÍÊÖÈÉ
- ÏÎËÍÎÅ ÈÇÌÅÍÅÍÈÅ
- ÏÎËÍÎÅ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÅ ÔÈÃÓÐÛ
- ÏÎËÍÎÅ ÏÐÈÐÀÙÅÍÈÅ
- ÏÎËÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
- ÏÎËÍÎÒÀ ÑÈÑÒÅÌÛ ÀÊÑÈÎÌ
- ÏÎËÍÛÉ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀË
- ÏÎËÍÛÉ ÊÂÀÄÐÀÒ
- ÏÎËÍÛÉ ÓÃÎË
- ÏÎËÍÛÉ ×ÅÒÛÐÅÕÂÅÐØÈÍÍÈÊ
- ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÎ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÀß ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÀß ÔÎÐÌÀ
- ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
- ÏÎËÎÆÈÒÅËÜÍÛÉ ÈÍÄÅÊÑ ÈÍÅÐÖÈÈ
- ÏÎËÎÑÀ
- ÏÎËÓÃÐÓÏÏÀ
- ÏÎËÓÈÍÒÅÐÂÀË
- ÏÎËÓÊÓÁÈ×ÅÑÊÀß ÏÀÐÀÁÎËÀ
- ÏÎËÓËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÀß ÁÓÌÀÃÀ
- ÏÎËÓÍÅÏÐÅÐÛÂÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÏÎËÓÏËÎÑÊÎÑÒÜ
- ÏÎËÓÏÎËÎÑÀ
- ÏÎËÓÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
- ÏÎËÓÏÐßÌÀß
- ÏÎËÜÊÅ-ØÂÀÐÖÀ ÒÅÎÐÅÌÀ
- ÏÎËß ÒÅÎÐÈß
- ÏÎËßÐÍÛÅ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÛ
- ÏÎÏÀÐÍÎ ÏÐÎÑÒÛÅ ×ÈÑËÀ
- ÏÎÐÈÇÌÀ
- ÏÎÐßÄÊÎÂÎÅ ×ÈÑËÎ
- ÏÎÐßÄÎÊ
- ÏÎÐßÄÎÊ ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÎ ÌÀËÎÉ
- ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈÅ
- ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜ
- ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜ ÐÀÑÕÎÄßÙÀßÑß
- ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜ ÑÕÎÄßÙÀßÑß
- ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÛÕ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÉ ÌÅÒÎÄ
- ÏÎÑÒÎÐÎÍÍÈÉ ÊÎÐÅÍÜ ÓÐÀÂÍÅÍÈß
- ÏÎÑÒÎßÍÍÀß ÂÅËÈ×ÈÍÀ
- ÏÎÑÒÐÎÅÍÈß ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ
- ÏÎÑÒÓËÀÒ
- ÏÎÒÅÍÎÒÀ ÇÀÄÀ×À
- ÏÎÒÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈÅ
- ÏÎÒÅÐßÍÍÛÅ ÊÎÐÍÈ
- ÏÎßÑ ØÀÐÎÂÎÉ
- ÏÐÀÂÀß ÊÀÑÀÒÅËÜÍÀß
- ÏÐÀÂÀß ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß
- ÏÐÀÂÈËÀ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈß
- ÏÐÀÂÈËÜÍÀß ÄÐÎÁÜ
- ÏÐÀÂÈËÜÍÀß ×ÀÑÒÜ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
- ÏÐÀÂÈËÜÍÛÉ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊ
- ÏÐÀÂÈËÜÍÛÉ ÌÍÎÃÎÓÃÎËÜÍÈÊ
- ÏÐÅÄÅË ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ
- ÏÐÅÄÅË ÔÓÍÊÖÈÈ
- ÏÐÅÄÅË ÔÓÍÊÖÈÈ ÑÏÐÀÂÀ
- ÏÐÅÄÅËÎÂ ÒÅÎÐÈß
- ÏÐÅÄÅËÜÍÀß ÑÔÅÐÀ
- ÏÐÅÄÅËÜÍÀß ÒÎ×ÊÀ
- ÏÐÅÄÅËÜÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÏÐÅÄÅËÜÍÎÅ ÇÍÀ×ÅÍÈÅ
- ÏÐÅÄÈÊÀÒ
- ÏÐÅÄÈÊÀÒΠÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ
- ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÃÐÓÏÏÛ
- ÏÐÅÊÐÀÙÅÍÈß ÒÎ×ÊÀ
- ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ
- ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
- ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÎÅ ÇÍÀ×ÅÍÈÅ
- ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ
- ÏÐÈÂÅÄÅÍÈÅ ÏÎÄÎÁÍÛÕ ×ËÅÍÎÂ
- ÏÐÈÂÅÄÅÍÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÂÛ×ÅÒÎÂ
- ÏÐÈÂÅÄÅÍÍÎÅ ÊÂÀÄÐÀÒÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
- ÏÐÈÂÎÄÈÌÛÉ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍ
- ÏÐÈÇÌÀ
- ÏÐÈÇÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÜ
- ÏÐÈÇÍÀÊÈ ÄÅËÈÌÎÑÒÈ ×ÈÑÅË
- ÏÐÈÌÈÒÈÂÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ÏÐÈÐÀÙÅÍÈÅ
- ÏÐÈÑÎÅÄÈÍÅÍÍÀß ÌÀÒÐÈÖÀ
- ÏÐÎÃÐÅÑÑÈß
- ÏÐÎÅÊÒÈÂÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß
- ÏÐÎÅÊÒÈÂÍÀß ÏËÎÑÊÎÑÒÜ
- ÏÐÎÅÊÒÈÂÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
- ÏÐÎÅÊÒÈÂÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
- ÏÐÎÅÊÒÈÂÍÛÅ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÛ
- ÏÐÎÅÊÖÈß
- ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÎÂ
- ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂ
- ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅ ÒÎÏÎËÎÃÈ×ÅÑÊÎÅ
- ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß
- ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß ÏÎ ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈÞ
- ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß ÏÐÎÏÎÐÖÈß
- ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÎÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ
- ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÅ ÂÛÑØÈÕ ÏÎÐßÄÊÎÂ
- ÏÐÎÌÅÆÓÒÎÊ ÎÒÊÐÛÒÛÉ
- ÏÐÎÌÈËËÅ (ÏÐÎÌÈËËÜ)
- ÏÐÎÎÁÐÀÇ
- ÏÐÎÏÎÐÖÈÎÍÀËÜÍÎÅ ÄÅËÅÍÈÅ
- ÏÐÎÏÎÐÖÈÎÍÀËÜÍÎÑÒÜ
- ÏÐÎÏÎÐÖÈß
- ÏÐÎÑÒÀß ÄÐÎÁÜ
- ÏÐÎÑÒÀß ÄÓÃÀ
- ÏÐÎÑÒÎÅ ÎÒÍÎØÅÍÈÅ ÒÐÅÕ ÒÎ×ÅÊ
- ÏÐÎÑÒÎÅ ×ÈÑËÎ
- ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
- ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ ÔÓÍÊÖÈÉ
- ÏÐÎÒÈÂÎÏÎËÎÆÍÛÅ ÒÅÎÐÅÌÛ
- ÏÐÎÒÈÂÎÏÎËÎÆÍÛÅ ÓÃËÛ
- ÏÐÎÒÈÂÎÏÎËÎÆÍÛÅ ×ÈÑËÀ
- ÏÐÎÖÅÍÒ
- ÏÐßÌÀß
- ÏÐßÌÀß ÏÐÈÇÌÀ
- ÏÐßÌÀß ÏÐÎÏÎÐÖÈÎÍÀËÜÍÎÑÒÜ
- ÏÐßÌÎ ÏÐÎÏÎÐÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÅ
- ÏÐßÌÎÅ ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅ
- ÏÐßÌÎÉ ÊÐÓÃÎÂÎÉ ÊÎÍÓÑ
- ÏÐßÌÎÉ ÊÐÓÃÎÂÎÉ ÖÈËÈÍÄÐ
- ÏÐßÌÎÉ ÏÀÐÀËËÅËÅÏÈÏÅÄ
- ÏÐßÌÎÉ ÓÃÎË
- ÏÐßÌÎËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÁÐÀÇÓÞÙÈÅ
- ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÈÊ
- ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÈÊΠÔÎÐÌÓËÀ
- ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
- ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÛÉ ÒÐÅÓÃÎËÜÍÈÊ
- ÏÑÅÂÄÎÂÅÊÒÎÐ
- ÏÑÅÂÄÎÃÐÓÏÏÀ
- ÏÑÅÂÄÎÑÊÀËßÐ
- ÏÑÅÂÄÎÑÔÅÐÀ
- ÏÒÎËÅÌÅß ÒÅÎÐÅÌÀ
- ÏÓÀÑÑÎÍÀ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ
- ÏÓÀÑÑÎÍÀ ÒÅÎÐÅÌÀ
- ÏÓÑÒÎÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ
- ÏÓ×ÎÊ
- ÏÓ×ÎÊ ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÅÉ
- ÏÓ×ÎÊ ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ
- ÏÓ×ÎÊ ÏÐßÌÛÕ
- ÏÓ×ÎÊ ÑÔÅÐ
- ÏÔÀÔÔÀ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÛÉ ÈÍÒÅÃÐÀË
ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÍÛÉ ÈÍÒÅÃÐÀË. Ïóñòü — íåêîòîðàÿ îãðàíè÷åííàÿ
îáëàñòü íà ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è
— ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ â
; ïóñòü äàëåå
; ðàçáèåíèå
â ñóììó íåïåðåñåêàþùèõñÿ
ïîäìíîæåñòâ (ÿ÷ååê),
—
ïëîùàäü ôèãóðû
(ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî âñå
îïðåäåëåíû),
,
— äèàìåòð ìíîæåñòâà
,
— äèàìåòð ðàçáèåíèÿ
.
Ï. è. ïåðâîãî ðîäà ôóíêöèè ïî ïîâåðõíîñòè
îáîçíà÷àåòñÿ
, è ïî îïðåäåëåíèþ
(*) 3äåñü
ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðåäåë â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñóùåñòâóåò ïðè ëþáîì âûáîðå
òî÷åê
è
ëþáîì ñïîñîáå èçìåëü÷åíèÿ ðàçáèåíèÿ
, ëèøü áû òîëüêî
.
Ê âû÷èñëåíèþ ïðåäåëîâ âèäà (*) ñâîäÿòñÿ ìíîãèå çàäà÷è èç ãåîìåòðèè, ôè- çèêè è äðóãèõ íàóê.
Ï. è. îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1)
ïðè ëþáûõ
ôóíêöèÿõ
è
íà
, äëÿ êîòîðûõ
ñóùåñòâóþò èíòåãðàëû ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû. 2)
äëÿ ëþáîãî ÷èñëà
. 3)
äëÿ âñÿêîé
íà
ãäå
è
— íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà. 4) Åñëè
íà
,
,
ñóùåñòâóþò, òî
. 5) Äëÿ ñâÿçíîé îáëàñòè
è íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
, ãäå
— íåêîòîðàÿ òî÷êà èç
,
— ïëîùàäü
. 6)
.
Åñëè îáëàñòü îãðàíè÷åíà è çàìêíóòà è
íåïðåðûâíà, òî
ñóùåñòâóåò (åñëè
ãëàäêîñòü ïîâåðõíîñòè
íå
ìåíüøå êëàññà
).
Ï. è. ìîæåò áûòü ñâåäåí ê äâîéíîìó èíòåãðàëó ïî ôîðìóëå
. (**)
Çäåñü ïîâåðõíîñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè
,
— êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷åñêîé
ôîðìû ïîâåðõíîñòè.
,
,
,
,
— ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âåêòîðíîé ôóíêöèè
ïî ïàðàìåòðàì
è
,
— ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå.
 òîì ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ïîâåðõíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì
,
, ôîðìóëà (**) èìååò âèä:
; çäåñü
— ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
ôóíêöèè
ïî
ñîîòâåòñòâåííî.
Ï. è. ïåðâîãî ðÿäà íàçûâàþòñÿ òàêæå Ï.
è. ïî ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ Ï. è. âòîðîãî ðîäà ñîõðàíèì âñå
îáîçíà÷åíèÿ, ââåäåííûå â íà÷àëå ñòàòüè, èçìåíèâ òîëüêî ñìûñë . Èìåííî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
— ïëîùàäü
ïðîåêöèè ÿ÷åéêè
íà êîîðäèíàòíóþ
ïëîñêîñòü
, âçÿòàÿ ñî çíàêîì «ïëþñ» èëè «ìèíóñ»,
íàõîäèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òàêèì ñîãëàøåíèåì. Ïóñòü îáëàñòü
îðèåíòèðîâàíà (ñì. Îðèåíòèðóåìûå
ïîâåðõíîñòè), ò. å. â êàæäîé òî÷êå
âûáðàíî îäíî èç äâóõ âîçìîæíûõ
íàïðàâëåíèé íîðìàëè, ò. å. âûáðàí åäèíè÷íûé âåêòîð
íîðìàëè, ïðè÷åì âûáîð ýòîò ñäåëàí
òàêèì îáðàçîì, ÷òî
íåïðåðûâíî
çàâèñèò îò
. Ïîëîæèì
ðàâíûì ïëîùàäè ÿ÷åéêè
, óìíîæåííîé íà
, ãäå
— óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
è åäèíè÷íûì îðòîì
îñè
.
Ï. è. âòîðîãî ðîäà ôóíêöèè ïî îðèåíòèðîâàííîé
ïîâåðõíîñòè
(+ îçíà÷àåò
îðèåíòàöèþ) ïî êîîðäèíàòàì
, îáîçíà÷àþòñÿ
, è ïî îïðåäåëåíèþ
. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñÿ Ï. è.
âòîðîãî ðîäà ïî êîîðäèíàòàì
è
:
,
. Ðàññìàòðèâàþò
âûðàæåíèÿ
,
ïîíèìàÿ èõ êàê ñóììó òðåõ èíòåãðàëîâ îò ôóíêöèè
ïî êîîðäèíàòàì
ñîîòâåòñòâåííî.
Ï. è. âòîðîãî ðîäà îïðåäåëåíû òîëüêî äëÿ îðèåíòèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé. Ï. è. âòîðîãî ðîäà îáëàäàþò ñâîéñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè ïåðå÷èñëåííûì âûøå ñâîéñòâàì Ï. è. ïåðâîãî ðîäà. Êðîìå ýòîãî, èìååò ìåñòî
.
Çäåñü
— ïîâåðõíîñòü
ñ îðèåíòàöèåé,
ïðîòèâîïîëîæíîé îðèåíòàöèè
.
Ï. è. âòîðîãî ðîäà ìîæåò áûòü ñâåäåí ê äâîéíîìó èíòåãðàëó ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó:
,
ãäå
— óðàâíåíèå
ïîâåðõíîñòè
,
— îáëàñòü íà
ïëîñêîñòè
, â êîòîðóþ
ïðîåêòèðóåòñÿ
; â ôîðìóëå
âûáèðàåòñÿ çíàê «+», åñëè
, è çíàê «ìèíóñ» â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Åñëè
ìåíÿåò çíàê â îáëàñòè
, òî îáëàñòü
ðàçáèâàþò íà
÷àñòè, â êîòîðûõ
ñîõðàíÿåò
ïîñòîÿííûé çíàê.
 òåîðèè Ï. è. èìååò ìåñòî âàæíàÿ ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî (ñì. Îñòðîãðàäñêîãî ôîðìóëà), ñâÿçûâàþùàÿ Ï. è. ñ îáúåìíûì.