ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА — множество точек трехмерного аффинного или евклидова пространства, координаты  которых (в некоторой аффинной или евклидовой системе координат) удовлетворяют уравнению

,       (*)

в котором не все коэффициенты , , равны нулю. Это определение корректно, т. е. не зависит от рассматриваемой системы координат, поскольку при переходе от одной аффинной системы координат к другой новые и старые координаты выражаются друг через друга с помощью линейных уравнений, при этом вид уравнения (*) не изменяется — левая часть уравнения по-прежнему представляет собой многочлен второй степени от трех переменных.

Основная задача теории П. в. п. состоит в классификации этих поверхностей, нахождении их инвариантов, а также в вычислении той системы координат в пространстве, в которой данная П. в. п. имеет самое простое — каноническое уравнение.

Всего различных видов П. в. п. — 17 (речь идет о классификации в евклидовом пространстве): цилиндры (эллиптический действительный или мнимый, параболический и гиперболический), конусы (действительные или мнимые), эллипсоид (действительный или мнимый), гиперболоид (однополостный и двуполостный), параболоид (эллиптический и гиперболический), пара действительных пересекающими плоскостей, пара мнимых плоскостей (пересекающихся по действительной прямой), пара совпавших плоскостей.

П. в. п., имеющие центр, называются центральными. Переход от декартовых координат  к декартовым координатам  по формулам ,  переводит уравнение (*) в уравнение вида

,    (**)

где матрица

, , ,

связана с матрицей ,  следующим образом:

,

и при подходящем выборе ортогональной матрицы  коэффициенты , , , равны нулю.

а) Если при этом , то после параллельного переноса осей координат уравнение (**) примет канонический вид:  и определит эллипсоид (действительный или мнимый), гиперболоид (однополостный или двуполостный), конус (действительный или мнимый).

б) Если только одно из чисел  равно нулю (пусть ), то уравнение (**) может быть сведено к виду: ,  или к виду: . Первый вариант задает эллиптический или гиперболический параболоид, во втором случае получается цилиндр (действительный или мнимый эллиптический или гиперболический).

в) Если ровно два числа из трех  равны нулю (пусть ), то уравнение (**) может быть сведено к виду:

,

где  одновременно не равны нулю, или к виду: . Первый вариант задает параболический цилиндр, во втором случае при  получается пара параллельных плоскостей (действительных или мнимых) и при  — пара совпадающих плоскостей.

Свойства П. в. п., а также описанный выше способ приведения уравнения П. в. п. к каноническому виду используются во многих математических теориях, например в исследованиях особых точек поверхностей, в приведении уравнений в частных производных к простейшему виду и др.