ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ

ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ — две фигуры, соответственные в преобразовании подобия. Если фигуру можно отобразить на фигуру так, что для любых двух точек и первой фигуры отношение расстояния между их образами к расстоянию между самими точками и равно одному и тому же числу , то фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия .

Обозначается П. ф. знаком . Если хотят записать П. ф. и символически, то пишут: ; если при этом хотят еще подчеркнуть П. ф. с коэффициентом , то пишут: , например: , или , где . У П. ф. соответственные элементы пропорциональны, а соответственные углы конгруэнтны, т.е. величины их равны. Свойства П. ф.: 1) всякая фигура подобна самой себе с коэффициентом подобия ; 2) если фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия , то фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия , т. е. ; 3) если фигура , а фигура , то фигура , т. е. фигура подобна фигуре с коэффициентом подобия . Конгруэнтные фигуры подобны с коэффициентом подобия . Таким образом, отношение подобия на множестве фигур на плоскости (или в пространстве) является отношением эквивалентности. П. ф., как и их конгруэнтность, рефлексивно, симметрично и транзитивно. Для П. ф. имеет место следующее утверждение: если две фигуры подобны, то существует третья фигура, отличная от них, гомотетичная одной из них и конгруэнтная второй.

При изучении планиметрии важное значение имеют признаки подобия треугольников: а) по двум углам, б) по двум сторонам и углу между ними, в) по трем сторонам; более подробно эти признаки формулируются так: а) если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны; б) если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны; в) если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Все правильные n-угольники при одном и том же подобны; например, любые два квадрата, два равносторонних треугольника подобны (аналогично любые два выпуклых правильных n-гранника также подобны); любые две окружности также подобны, как и любые две сферы в пространстве.

Отношение площадей П. ф. равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов П. ф. в пространстве равно кубу коэффициента подобия. П. ф. на плоскости строятся с помощью пантографа. Знак П. ф. представляет собой повернутую первую букву латинского слова similis — подобный. С наглядной точки зрения П. ф. имеют одинаковую форму и, вообще говоря, различные размеры. В «Началах» Евклида П. ф. и преобразованиям подобия посвящена VI книга.