ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК — выпуклый многогранник, у которого все грани — конгруэнтные правильные многоугольники и все многогранные углы конгруэнтны. Естественно, что число ребер, выходящих из каждой вершины П. м., одно и то же. Уже Евклидом было доказано существование только пяти типов П. м.: правильный тетраэдр (рис. 64, а), правильный гексаэдр, или куб (рис. 64, б), правильный октаэдр (рис. 64, в), правильный додекаэдр (рис. 64, г), правильный икосаэдр (рис. 64, д). Каждый из П. м. можно получить путем сечения куба определенными плоскостями. Все П. м., за исключением правильного тетраэдра, имеют центр симметрии. Вокруг каждого П. м. можно описать сферу и во всякий П. м. вписать сферу. Правильный тетраэдр двойствен (дуален) сам себе; куб двойствен правильному октаэдру; правильный додекаэдр двойствен правильному икосаэдру. У двойственных П. м. число вершин одного из них равно числу граней другого и, наоборот, число ребер у двойственных П. м. одно и то же. Центры граней П. м. являются вершинами двойственного ему П. м.

Рис. 64

Для П. м., как и для многогранников нулевого рода (простых), справедлива формула (теорема) Декарта — Эйлера:

,

где  — число вершин,  — число граней,  — число ребер многогранника. Если П. м. существует конечное число, то правильных многоугольников существует бесконечное число.

См. также: Двойственности принцип, Ось симметрии фигуры, Симметрия, Бипирамида.