ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ: 1°. П. п. функций , заданных на отрезке  (интервале, множестве), есть функция , значение которой  для произвольного  есть предел числовой последовательности ; этот предел должен существовать и быть конечным для всех  из отрезка (интервала, множества).

2°. П. п. чисел. Число  называется П. п. чисел , если для всякого  существует такой номер , что при  выполняется неравенство . Номер  зависит от , т. е. . Изображая члены  последовательности точками на числовой оси (в случае последовательности действительных чисел) или на комплексной плоскости (в случае последовательности комплексных чисел), можно определение П. п. чисел сформулировать так: точка  является П. п. чисел , если в любой -окрестности точки  — лежат почти все (т. е. все, кроме конечного числа) члены последовательности (рис. 65, а и 65, б).

Рис. 65

Члены последовательности с различными номерами могут быть одинаковы и изображаться, следовательно, одной геометрической точкой. Поэтому в определении речь идет о числе членов последовательности, а не точек, их изображающих. Точка может и не быть предельной для множества точек, изображающих члены последовательности (это будет тогда и только тогда, когда все члены  совпадают между собой, начиная с некоторого номера ). Например, последовательность , , , ,  () имеет предел , а множество изображающих точек конечно (состоит из точек ) и не имеет предельной точки. Для П. п. чисел принят символ  (иногда ). П. п. чисел могут служить также символы  и . Последовательность действительных чисел  имеет пределом ,  (соответственно ), если для всякого  существует номер , что при  выполняется неравенство  (, соответственно ). Если окрестностью  считать любой интервал числовой оси вида , окрестностью  считать любой интервал вида , то определения бесконечных П. п. чисел формулируются теми же словами, что и в случае конечного П. п. чисел (только слова «точка » надо заменить соответствующими символами  или ). Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся (к этому пределу).

Для последовательности комплексных чисел понятие П. п. чисел сводится к П. п. чисел в действительной области, так как имеет место следующее утверждение: число  является П. п. чисел  () тогда и только тогда, когда число  есть П. п.  и число  есть П. п. . Считают , если .

Примеры. 1) Последовательность , где , имеет: ; 2) последовательность , т. е. ,  (), не имеет предела; две подпоследовательности, составленные одна из нечетных и другая из четных членов, имеют пределы: , ; 3) последовательность  сходится к пределу ; 4) последовательность  имеет бесконечный предел ; 5)  (е — число).