ПРОЕКЦИЯ

ПРОЕКЦИЯ: 1°. П. центральная точки  на плоскость  — точка  пересечения прямой, проходящей через точку  и некоторую другую фиксированную точку , где  и  (точка  не совпадает с ), с плоскостью  (рис. 70, а). Точка , не принадлежащая плоскости , называется центром П. или центром проектирования, плоскость  — плоскостью П. или картинной плоскостью, прямая  — проектирующей прямой. Если точка  лежит между точками  и , то иногда луч  в этом случае называют проектирующим лучом или «лучом зрения», а точку  в этом случае ради наглядности также иногда называют «глазом». Точку  в центральной П. называют прообразом (оригиналом), а точку  — образом (копией). Центральная П. фигуры  на плоскость  есть множество центральных П. всех точек этой фигуры.

Рис. 70

Законы (свойства) центральной П. довольно сложны и малопригодны в учебном процессе средней школы: параллельность прямых в центральной П., вообще говоря, не сохраняется, простое отношение трех точек также не сохраняется, окружность в этой проекции может спроектироваться в любую кривую второго порядка, а это уже вызывает затруднения в изображении ряда фигур. Однако сложное отношение четырех точек прямой в центральной П. сохраняется.

Центральная П. изучается в проективной и начертательной геометрии. Центральная П. иначе называется перспективой или конической П. Если точка  удаляется в бесконечность, то в этом случае все проектирующие прямые становятся параллельными между собой и центральная П. вырождается в параллельную П. Центральная П. широко применяется в живописи.

2°. П. параллельная точки  на плоскость  — точка  пересечения прямой , проходящей через точку  и параллельной заданной прямой  (пересекающей плоскость ), с плоскостью  (рис. 70, б). Плоскость  при этом, как и в случае центральной проекции, называется плоскостью П. или картинной плоскостью.

П. п. фигуры  на плоскость  называется множество П. п. всех точек фигуры  на эту плоскость.

Если проектирующие прямые (прямые, параллельные прямой , пересекающей плоскость изображений ) ортогональны (перпендикулярны) плоскости , то П. п. называется ортогональной или прямоугольной.

Законы (свойства) П. п. значительно проще, нежели законы центральной проекции. Так, при П. п. сохраняется параллельность прямых, простое отношение трех точек. Эти свойства уже значительно проще, чем свойства центральной проекции. Так, квадрат при П. п. спроектируется в виде параллелограмма, правильный тетраэдр в виде произвольного четырехугольника вместе с его диагоналями. Однако необходимо отметать, что величина углов, длина отрезков при П. п., вообще говоря, не сохраняется: биссектриса треугольника-оригинала в П. и. уже не будет биссектрисой треугольника-проекции, но медиана треугольника в проекции также останется медианой треугольника-проекции.

П. п. и ортогональная П. широко используются в начертательной геометрии. Существуют частные случаи П. п. и ортогональной П.

3°. П. с числовыми отметками точки — ортогональная проекция этой точки на некоторую плоскость  вместе с «отметкой» точки, т. е. с числом, выражающим высоту точки над плоскостью . Таким образом, плоскость  служит как бы плоскостью уровня воды в море. Точки в пространстве, расположенные ниже плоскости , будут в П. с ч. о. иметь своими отметками отрицательные числа. Обычно П. с ч. о. используются в географии, когда требуется изобразить рельеф некоторой части земной поверхности. Линия, все точки которой имеют одну и ту же П. с ч. о., называется линией уровня или горизонталью поверхности.

В педагогическом процессе чаще всего приходится пользоваться параллельной П. или ее частным случаем — ортогональной проекцией, особенно при изображении сферы или при изображении фигур, вписанных в сферу или описанных вокруг нее.

Лат. projectio — отбрасываю вперед; по смыслу означает: изображение, тень.

См. также: Аксонометрия, Полное изображение фигуры, Эпюр, Чертеж, Абрис, Дезарга теорема, Польке—Шварца теорема.