РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ: 1°. Р. с. последовательности функций  на данном множестве к функции  означает, что для всякого  существует  такое, что при всех  выполняется неравенство

при любых  из данного множества. Так, например, последовательность функций  на любом отрезке  () сходится равномерно к нулю (нуль-функция). Последовательность функций может сходиться равномерно на одном множестве и сходиться неравномерно на другом.

Рассмотренная последовательность функций на отрезке [0; 1] сходится, но неравномерно. Во многих задачах анализа применяется теорема, использующая понятие Р. е.: если ряд  равномерно сходится к  на промежутке , то ряд  равномерно сходится к  для любого .

2°. Р. с. несобственного интеграла, зависящего от параметра. Говорят, что  сходится равномерно к , если для всякого  существует  такое, что при всех  выполняется неравенство

при любых значениях . Р. с. интеграла дает возможность менять порядок интегрирования у несобственных двойных интегралов.