РАСХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ

РАСХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ — интеграл вида  такой, что  равен  или же отсутствует вовсе, где  определена в промежутке  и интегрируема в любой его части . Например,  и  являются Р. и., так как первый вообще не имеет значения при верхнем пределе ( при  не стремится ни к какому пределу), а второй равен бесконечности.     

Если подынтегральная функция  внутри промежутка интегрирования  обращается в бесконечность в точке , то под интегралом  понимают выражение

.

Если этот предел конечен, то интеграл сходится, если бесконечен (т. е. равен ) или не существует вовсе, то интеграл называется Р. и.

Существуют методы, позволяющие и Р. и. в некоторых случаях приписывать определенным образом «обобщенные» числовые значения. Если, например, функция  определена для  и интегрируема в обычном смысле в любом конечном промежутке , но не интегрируема в промежутке  и если существует конечный предел  (среднего значения  функции , то это число  и считают обобщенным значением интеграла, а  — интегрируемой в обобщенном смысле. Например,  — его среднее значение  имеет предел

,

равный нулю; следовательно, P. и. в обобщенном смысле равен нулю.

Если для  интеграл  не существует, но сходится интеграл  () и существует конечный предел , то этот предел можно также рассматривать как обобщенное значение интеграла, расходящегося в обычном смысле, например:

.