РЕКУРРЕНТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

РЕКУРРЕНТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — последовательность, удовлетворяющая рекуррентной формуле. В частности, под Р. п. понимают последовательность  (), удовлетворяющую равенству

 ().               (*)

Такую Р. п. также называют возвратной последовательностью, а число  — ее порядком. Равенство (*), называемое возвратным уравнением порядка , является по существу уравнением в конечных разностях, а теория Р. п. является одним из разделов исчисления конечных разностей (см. Конечных разностей исчисление). Частными случаями Р. п. являются арифметическая () и геометрическая () прогрессии, а также последовательность п-х степеней натуральных чисел (). Последовательность коэффициентов в выражении

,

полученном делением многочлена -й степени на многочлен k-й степени, расположенный по возрастающим степеням:

 (),

также является, начиная с некоторого номера, Р. п. порядка , а именно:

 при .

Последний пример носит весьма общий характер: оказывается, что произвольная Р. п.  () порядка , удовлетворяющая уравнению (*), есть последовательность коэффициентов частного, полученного отделения некоторого многочлена на многочлен

.

Теория Р. п. является аналогом теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так, например, все Р. п., удовлетворяющие уравнению (*), образуют векторное пространство размерности . Если  — корень характеристического уравнения , то геометрическая прогрессия со знаменателем  есть Р. п., удовлетворяющая уравнению (*). Если все корни  этого характеристического уравнения различны, то геометрические прогрессии со знаменателями  образуют базис векторного пространства решений уравнения (*).

Впервые Р. п. встречается в работах А. де Муавра и Я. Бернулли, однако стройную теорию Р. п. мы имеем благодаря работам Л. Эйлера.