РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО

РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО — гладкое многообразие, в каждой точке которого задан дважды ковариантный тензор  ( — непрерывно дифференцируемые функции точки) — невырожденный и симметричный. При помощи этого тензора определяется длина любой кривой Р. п. ,  ( — размерность Р. п.), а также углы, площади и т. п. Именно эта длина равна

.

Примеры. 1) Поверхность в трехмерном евклидовом пространстве, тензор  — первая квадратичная форма поверхности; 2) поверхность  измерений в п-мерном евклидовом пространстве .

(скобки означают скалярное произведение векторов евклидова пространства). Если квадратичная форма  положительно определена, то Р. п. называется собственно римановым. Абстрактное Р. п. определяется и весьма часто изучается вне той связи с объемлющим его евклидовым пространством, которая имеет место в примерах 1 и 2. См. Римановы геометрии.