РИМАНОВЫ ГЕОМЕТРИИ

РИМАНОВЫ ГЕОМЕТРИИ — геометрии римановых пространств — раздел дифференциальной геометрии, изучающей свойства римановых пространств, которые могут быть выражены в терминах метрического тензора . Геометрии римановых пространств в окрестности некоторой точки совпадают с геометрией Евклида до величин 1-го порядка малости включительно. Так, для измерений небольших участков на земной поверхности с большой точностью применяется евклидова геометрия. Риману же принадлежит идея вычисления длины кривой бесконечно малыми шагами. При каждом таком шаге длина кусочка кривой вычисляется в евклидовой метрике:

,

но коэффициенты этой метрики меняются отточки к точке (см. Риманово пространство). В Р. г. определяется некоторый аналог прямых линий евклидовой геометрии — геодезические линии. Эти линии реализуют минимум расстояния в достаточно малой области риманова пространства. Важнейшими понятиями Р. г. являются кривизна риманова пространства в двумерном направлении (см. Кривизна), аффинная связность, порожденная метрическим тензором , ковариантное дифференцирование в этой связности и тесно с ним связанный параллельный перенос.

Развитие Р. г. шло одновременно с развитием аппарата тензорного исчисления, созданного в основном математиками итальянской школы (Риччи, Леви-Чевита и др.), крупный вклад в теорию был сделан семинаром по Р. г. и тензорному анализу при Московском университете (семинар основан в 1928 г. В. Ф. Каганом). Много новых идей и методов было предложено французским математиком Э. Картаном.

Проблемами геометрии римановых пространств являются, в частности, вопросы погружения в целом риманова пространства в евклидово, изучение специальных видов римановых пространств, в частности однородных римановых пространств, и др.

Р. г. с момента своего возникновения имели большую область приложения к различным задачам физики. В трудах Римана, Герца теория Р. г. применялась к задаче распространения тепла в анизотропном теле, к механике и т. д. Очень важным приложением Р. г. является теория относительности Эйнштейна, который показал, что пространственно-временное многообразие можно рассматривать как псевдориманово пространство четырех измерений. В свою очередь развитие теории Р. г. во многом стимулировалось запросами теории относительности.