БЕТТИ ГРУППА

БЕТТИ ГРУППА. Пусть  — топологическое пространство с заданным клеточным разбиением, являющимся -комплексом. Обозначим через  абелеву группу формальных целочисленных линейных комбинаций клеток размерности q (группа цепей). Граничный оператор определяет гомоморфизм

.

Подгруппа , состоящая из элементов  ( — клетки,  — целые числа) таких, что , называется подгруппой циклов, а сами элементы Z—циклами. Подгруппа , состоящая из элементов , таких, что  для некоторого , называется подгруппой границ, а сами элементы  — границами. Имеет место включение .

Факторгруппа  называется n-мерной Б. г. клеточного комплекса X, Б. г. инвариантна относительно гомотопической эквивалентности. Это значит, что Б. г. не зависит от клеточного разбиения топологического пространства  и  для гомотопически эквивалентных топологических пространств , в частности для гомеоморфных  и . Б. г. могут быть определены в терминах симплициального комплекса. Б. г. размерности  называются также n-мерной гомологической группой.

Примеры

1. Для n-мерной сферы  Б. г. таковы:

.

2. Для вещественного проективного пространства  размерности три Б. г. таковы:

;

здесь  — циклическая группа второго порядка.