СЕДЛО

СЕДЛО (седловина) — тип особой точки дифференциального уравнения. Между интегральными кривыми, входящими в особую точку типа С., находятся интегральные кривые типа гиперболы, расположенные примерно так же, как линии уровня гиперболического параболоида, имеющего форму С. Отсюда и происходит название этого типа особых точек дифференциального уравнения.

См. также: Особые точки дифференциального уравнения.

Пусть в окрестности точки  функция , не ограничена и не имеет единственного предела. Простейшим примером является , для которой точка (0,0) является изолированной особой точкой. В уравнении

           (*)

сделаем замену переменных: ,  — однородное аффинное преобразование, подбирая  так, чтобы уравнение (*) имело вид:

,              (**)

при этом  и  будут корнями уравнения

.            (***)

Решение уравнения (**) имеет вид: . Если корни уравнения (***) действительные и разных знаков, то  и уравнения интегральных кривых имеют вид: . Два решения  и  проходят через особую точку (0, 0), а все другие нет. Особая точка такого типа называется С. Например, при  общий интеграл имеет вид: , т. е. имеем семейство гипербол, отнесенных к осям, и две асимптоты — они-то и проходят через особую точку (рис. 86).

Рис. 86