СИММЕТРИЯ

СИММЕТРИЯ: 1°. С. относительно прямой , лежащей в некоторой плоскости , — отображение точек этой плоскости на себя, при котором каждая точка плоскости переходит в точку , симметричную с первой относительно прямой (рис. 90). Прямая при этом называется осью С., а С. относительно прямой — осевой С. или отражением от прямой, а также зеркальным отражением от прямой. Точки оси С. отображаются сами на себя. Осевая С. есть взаимно однозначное отображение плоскости на себя. Осевая С. есть инволюция. Осевая С. есть перемещение (изометрия), т. е. длина отрезка при этом преобразовании сохраняется ориентация фигуры при осевой С. меняется на противоположную. Прямые при осевой С. преобразуются в прямые, при этом прямые, перпендикулярные оси С., преобразуются в себя, а ось. С. остается точечно-неподвижной (точечно- инвариантной), каждая точка ее двойная.

Рис. 90

Композиция (произведение) двух осевых С. с параллельными осями есть параллельный перенос; композиция же двух осевых С. с пересекающимися осями есть поворот с центром в точке пересечения оси симметрии, но не является С. ни относительно первой, ни относительно второй осей С., т. е. множество всех С. на плоскости относительно заданных осей не обладает свойством замкнутости, кроме того, среди осевых С. нет тождественного преобразования. Другими словами, множество всех осевых С. на плоскости не образует группы.

2°. С. относительно точки , лежащей в некоторой плоскости — поворот плоскости а вокруг точки на 180°. Центр поворота в этом случае называется центром С., а сама С. в этом случае называется центральной. Любая точка при центральной С. переходит в точку такую, что точка является серединой отрезка . Центральная С. является перемещением, поэтому всякая фигура в этой С. перейдет в конгруэнтную фигуру . Центр С. отобразится сам на себя. Центральная С. является, как и осевая С., взаимно однозначным отображением плоскости на себя и инволюционным преобразованием плоскости. Композиция (произведение) двух центральных С. есть параллельный перенос плоскости. При центральной С. всякая прямая переходит в параллельную ей прямую.

С. называют также свойство фигуры, симметричной относительно прямой (оси), или точки (центра), или относительно плоскости.

3°. С. относительно плоскости — отображение (преобразование) пространства на себя, при котором каждая точка переходит в симметричную точку относительно данной плоскости (см. Симметричные точки).

Аналогично рассматривается С. в пространстве относительно точки и относительно прямой. Всякая С. относительно прямой, относительно точки или относительно плоскости связана с понятием симметричных точек, а следовательно, с понятием середины отрезка.

Понятие симметрии на плоскости и в пространстве часто используется при решении задач и доказательстве теорем.