СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ — важный частный случай функциональных рядов — ряды вида , где  — некоторые постоянные. С. р. рассматриваются как в поле действительных, так и в поле комплексных чисел. В своей области сходимости С. р. представляет аналитическую функцию.

С. р. сходится на множестве чисел , удовлетворяющих неравенству  и при некоторых или всех , удовлетворяющих равенству , где  — радиус сходимости. В случае поля действительных чисел областью сходимости является интервал , симметричный относительно , а в комплексном случае областью сходимости является круг радиуса . Граничные точки круга и интервала могут как принадлежать, так и не принадлежать области сходимости в зависимости от конкретных С. р. Интервал и круг сходимости могут вырождаться в точку (), во всю прямую или плоскость комплексного переменного ().

Примеры: ряд  сходится при , ряд  сходится лишь при , ряд  сходится во всей плоскости.

Существует несколько признаков сходимости С. р., например признак Даламбера, Коши (см. Коши критерий) и др., а также способы определения радиусов сходимости. С. р. сходится равномерно (см. Равномерная сходимость) на всяком множестве  (здесь  — радиус сходимости), где в силу теорем анализа возможно его почленное интегрирование.

Аналитические функции, являющиеся суммой С. р. в комплексной области, обладают некоторыми замечательными свойствами (см. Аналитические функции).