ТАНГЕНС

ТАНГЕНС — Одна из тригонометрических функций, обозначаемая , значения которой определяются формулой . Область определения Т., т. е. , состоит из всех действительных чисел, кроме чисел вида , где . Множество значений Т., т. е. , есть вся числовая прямая . Пусть в ориентированной плоскости выбрана прямоугольная декартова система, координат (рис. 106) и дана окружность единичного радиуса с центром в начале координат, а также угол с вершиной в начале координат. Пусть — точка с координатами (1; 0). Тогда поворот отобразит точку в точку . Координаты точки — числа являются соответственно косинусом угла и синусом угла , а отношение ординаты к абсциссе есть Т. угла , т. е. , где — ордината точки , лежащей на касательной к единичной окружности в точке . Т. является функцией величины угла. Т. есть функция периодическая (с наименьшим положительным периодом, равным ), неограниченная и нечетная. График Т. в прямоугольной декартовой системе координат имеет центр симметрии — начало координат и состоит из множества конгруэнтных ветвей. График функции Т. называется тангенсоидой.

Рис. 106

С возрастанием угла от 0 до (радианов) Т. возрастает от 0 до . Котангенс и Т. для общей области определения связаны соотношением

Функция, обратная Т. На промежутке , называется арктангенсом. Производная функции вычисляется по формуле . Функция Т. непрерывна в своей области определения, как и котангенс. Интеграл от Т. находится по формуле . Функция Т. разлагается в степенной ряд:

Если рассматривать угол как острый угол прямоугольного треугольника, то Т. можно определить как отношение катета, противолежащего углу , к катету, прилежащему к этому углу (из треугольника ), т. е. ; для треугольника значение ().

Длина касательной, проведенной из точки , принадлежащей лучу , к единичной окружности, равна модулю Т. угла , т. е. . Отсюда происходит слово «тангенс».