ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, изучающий тензоры и тензорные поля средствами линейной алгебры и математического анализа. Над тензорами в n-мерном линейном пространстве производятся алгебраические действия сложения, свертывания (см. Свертывание тензора), симметризации, альтернирования и т. д. Каждая такая операция имеет смысл геометрический или физический, смотря по роду задачи, поставленной практикой. Однако указанные действия и свойства тензоров можно и полезно изучать даже без связи с этими задачами. Четыре упомянутых выше действия над тензорами и их свойства составляют основное содержание важной составной части Т. и. — тензорной алгебры.

Более глубоким отделом Т. и. является тензорный анализ — дисциплина, в основу которой положено понятие предела дифференцируемости. Объектом исследования тензорного анализа являются тензорные поля Понятие дифференцируемости тензорных полей является более сложным, чем, например, дифференцируемость обычной функции многих переменных — скалярного поля. Инвариантное (неизменное при различных выборах криволинейных координат) дифференцирование тензорных полей может быть введено при помощи конструкции так называемого параллельного переноса. См. Абсолютное дифференцирование. Частным случаем Т. и., составляющим, пожалуй, самостоятельную дисциплину, является векторное исчисление. Т. и. — мощное орудие исследования теории относительности и дифференциальной геометрии.

Первоначальные идеи Т. и. появляются в XIX в. в связи с задачами дифференциальной геометрии у К. Гаусса и Б. Римана. Оформление Т. и. как науки произошло в трудах итальянских математиков Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита. Особенно широко и интенсивно развивается Т. и. в связи с идеями теории относительности, механики сплошной сферы, теории дислокаций и т. д.