ТЕОРИЯ ИГР

ТЕОРИЯ ИГР — теория выбора наиболее выгодного поведения при столкновении противоречивых интересов. Математическое понятие игры возникло из рассмотрения различных игр (шахмат, шашек, карточных игр и т. д.). Однако область его применения значительно шире и охватывает весьма различные ситуации, в которых сталкиваются противоречивые интересы (конкурентная борьба, военные действия и т. д.).

Типичная постановка задачи в Т. и. такова. Имеются два противника (первый и второй игроки), каждый из которых выбирает независимо от другого определенный способ действий — стратегию.

Например, выбрать стратегию белых в шахматах — значит указать первый ход и для каждого возможного первого, второго, третьего и т. д. хода черных указать ответ белых; выбрать стратегию черных — значит указать ответ черных на каждый возможный ход белых. Игра имеет некоторое множество исходов, зависящих только от выбранных стратегий (и, возможно, еще от случайного эксперимента, результат которого не зависит от игроков). Если игра получила исход , второй игрок уплачивает первому  рублей (если  отрицательно, то второй получает от первого  рублей). Математическое ожидание  выигрыша первого игрока зависит только от стратегий  и , выбранных соответственно первым и вторым игроками. Т. и. рассматривает следующие задачи: а) какую стратегию  должен выбрать первый игрок, чтобы гарантировать себе возможно больший выигрыш независимо от действий второго, т. е. чтобы:

;

б) какую стратегию  должен выбрать второй игрок, чтобы независимо от действий первого проиграть как можно меньше, т. е. чтобы:

.

Эти задачи получили принципиальное решение в случае, когда число стратегий каждого игрока конечно. При этом оказалось, что обычно каждому игроку бывает выгодно выбирать не какую-нибудь фиксированную стратегию, а при каждом повторении игры выбирать одну из возможных стратегий  для первого игрока и  для второго с некоторыми вероятностями, соответственно  и . Наборы  и  называются смешанными стратегиями игроков. Нахождение этих наборов, а также математического ожидания выигрыша первого игрока называется решением игры.

Рассмотрим в качестве примера следующую игру. Первый игрок прячет либо монету в 10 к., либо монету в 20 к.; второй игрок должен угадать, какая монета спрятана. Если он угадывает, то получает стоимость спрятанной монеты, если не угадывает, то платит первому игроку 15 к.

Применением методов Т. и. в этом случае можно получить, что наилучшая стратегия первого игрока — прятать 10 к., с вероятностью 7/12, а 20 к. — с вероятностью 5/12. При этом математическое ожидание его выигрыша равно 5/12 к. при условии, что второй игрок применяет свою наилучшую стратегию (наилучшая стратегия второго игрока — называть 20 к. с вероятностью 7/12 и 10 к. с вероятностью 5/12). Если второй игрок будет применять другую стратегию, то он не сможет уменьшить свой проигрыш (5/12 к. в среднем при каждом повторении игры). Необходимо иметь в виду, что Т. и. применима в том случае, когда игра повторяется достаточно много раз, тогда выигрыш каждого игрока будет в силу закона больших чисел мало отличаться от его математического ожидания.