ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО

ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО — (комплексное) число, которое не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Иначе, Т. ч. есть число, не являющееся алгебраическим. Примерами Т. ч. являются числа  и . Доказательства этих фактов довольно сложны.

Однако то, что Т. ч. существует, можно показать простым рассуждением. Множество всех многочленов с целыми коэффициентами счетно (см. Счетное множество), у каждого многочлена конечное число корней. Следовательно, множество алгебраических чисел счетно, а так как множество чисел имеет мощность континуума, то существуют не алгебраические, т. е. Т. ч. Мощность Т. ч. — континуум.

Всякое Т. ч. иррационально, однако существуют иррациональные числа, не являющиеся Т. ч. Например, число  есть корень уравнения , следовательно, оно является иррациональным, но не Т. ч.

Существование Т. ч. впервые установил Ж. Лиувилль (1844). Советский математик А. О. Гельфонд доказал, что если  — алгебраическое число ,  и  — иррациональное число, то  — Т. ч.