БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА

БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА — отрезок биссектрисы (или ее длина) внутреннего угла треугольника от вершины до точки пересечения ее с противоположной стороной треугольника. Б. т. пересекаются в одной точке — центре вписанной в него окружности. В любом разностороннем треугольнике Б. т. всегда лежит внутри угла, образованного высотой и медианой, проведенными из той же вершины.

Во всяком треугольнике Б. т. делит сторону треугольника на части, пропорциональные двум другим сторонам. Верно и обратное предложение. Биссектриса внешнего угла разностороннего треугольника пересекает продолжение противоположной стороны треугольника в точке, отстоящей от концов этой стороны на расстояниях, пропорциональных длинам двух других сторон. Справедливо и обратное утверждение. Четыре точки , две из которых  — вершины треугольника, а две другие  и  — основания биссектрис, проведенных из третьей вершины  треугольника , образуют гармоническую четверку точек. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, проведенные из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Под Б. т. иногда понимают прямую, проходящую через вершину треугольника и делящую угол пополам (так Б. т. часто понимают в аналитической геометрии).

Если  — длины сторон треугольника , а  — длины биссектрис его, то справедливы следующие соотношения:

где  — длины отрезков, на которые разбивает основание биссектрисы  сторону ; аналогично определяются длины отрезков  и .