- УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
- УБЫВАЮЩАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
- УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
- УБЫВАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
- УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ
- УГЛОВАЯ ТОЧКА
- УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ
- УГОЛ
- УГОЛ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
- УДВОЕНИЕ КУБА
- УЗЕЛ
- УЗЛОВАЯ ТОЧКА
- УЗЛЫ
- УЛИТКА ПАСКАЛЯ
- УМНОЖЕНИЕ
- УМНОЖЕНИЕ ПОДСТАНОВОК
- УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА
- УНИКУРСАЛЬНАЯ КРИВАЯ
- УНИМОДУЛЯРНАЯ ГРУППА
- УНИМОДУЛЯРНАЯ МАТРИЦА
- УНИМОДУЛЯРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
- УНИТАРНАЯ МАТРИЦА
- УНИТАРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
- УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР
- УНИЧТОЖЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ
- УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО
- УРАВНЕНИЕ
- УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
- УРОВНЯ ЛИНИИ
- УРОВНЯ ПОВЕРХНОСТИ
- УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
- УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
- УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
- УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ
- УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
- УСТОЙЧИВОСТЬ
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — математическая дисциплина, изучаемая во многих высших учебных заведениях, состоящая в математическом описании явлений, связанных с некоторыми физическими процессами. При этом в основном рассматриваются только те процессы, которые описываются с помощью уравнений в частных производных и (реже) с помощью интегральных уравнений или интегро-дифференциальных уравнений.
Особое место в У. м. ф. занимает теория уравнений с частными производными второго порядка:
,
где
,
,
— заданные функции переменных
(
). Свойства решения этих уравнений
существенно зависят от знаков корней характеристического уравнения
. Если все корни имеют
одинаковый знак, то уравнение называют
уравнением эллиптического типа; если знак одного корня противоположен знаку
остальных
корней,
то — гиперболического типа; если же один корень равен нулю, а все остальные
одного знака, — то параболического типа; другие комбинации знаков корней мало
изучены.
К уравнениям эллиптического типа
приводит изучение различных стационарных процессов (электростатика,
магнитостатика, потенциальное движение несжимаемой жидкости и т. п.).
Простейшим из них являются, уравнения (Лапласа) и
(Пуассона), а также уравнение,
рассматривавшееся Эйлером:
, и
полигармонические уравнения.
Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных волн в проводящих средах, движение вязкой жидкости. Простейшим из них является уравнение теплопроводности.
К уравнениям гиперболического типа приводят задачи о колебаниях сплошных сред и задачи об электромагнитных колебаниях.
Простейшим из них является волновое
уравнение (Эйлер,
1750).
Для уравнения (Трикоми, 1923) полуплоскость
(
)
служит зоной эллиптичности, полуплоскость
— гиперболичности, прямая
— параболичности; это
уравнение смешанного типа. Решению У. м. ф. посвящены работы известнейших
математиков: Эйлера, Даламбера, Лапласа, Римана, Фурье.
См. также: Метод характеристик, Фурье метод, Лапласа уравнение, Дирихле задача, Грина функция.