УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — математическая дисциплина, изучаемая во многих высших учебных заведениях, состоящая в математическом описании явлений, связанных с некоторыми физическими процессами. При этом в основном рассматриваются только те процессы, которые описываются с помощью уравнений в частных производных и (реже) с помощью интегральных уравнений или интегро-дифференциальных уравнений.

Особое место в У. м. ф. занимает теория уравнений с частными производными второго порядка:

,

где , ,  — заданные функции переменных  (). Свойства решения этих уравнений существенно зависят от знаков корней характеристического уравнения . Если все корни имеют одинаковый знак, то уравнение называют уравнением эллиптического типа; если знак одного корня противоположен знаку остальных  корней, то — гиперболического типа; если же один корень равен нулю, а все остальные одного знака, — то параболического типа; другие комбинации знаков корней мало изучены.

К уравнениям эллиптического типа приводит изучение различных стационарных процессов (электростатика, магнитостатика, потенциальное движение несжимаемой жидкости и т. п.). Простейшим из них являются, уравнения  (Лапласа) и  (Пуассона), а также уравнение, рассматривавшееся Эйлером: , и полигармонические уравнения.

Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных волн в проводящих средах, движение вязкой жидкости. Простейшим из них является уравнение теплопроводности.

К уравнениям гиперболического типа приводят задачи о колебаниях сплошных сред и задачи об электромагнитных колебаниях.

Простейшим из них является волновое уравнение  (Эйлер, 1750).

Для уравнения  (Трикоми, 1923) полуплоскость  () служит зоной эллиптичности, полуплоскость  — гиперболичности, прямая  — параболичности; это уравнение смешанного типа. Решению У. м. ф. посвящены работы известнейших математиков: Эйлера, Даламбера, Лапласа, Римана, Фурье.

См. также: Метод характеристик, Фурье метод, Лапласа уравнение, Дирихле задача, Грина функция.