УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ

УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ бесконечного ряда. Если ряд  сходится, а ряд, составленный из модулей , расходится, то говорят об условной, или неабсолютной, сходимости первоначального ряда.

Примерами могут служить ряды лейбницевского типа:  и . Эти ряды сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. К числу условно сходящихся рядов относятся также ряды:

 и  при .

В противоположность абсолютно сходящимся рядам условно сходящиеся ряды не обладают переместительным свойством; в каждом таком ряду надлежащей перестановкой членов можно изменить его сумму или даже вовсе нарушить сходимость. Согласно теореме Римана, если ряд сходится неабсолютно, то, какое бы ни было наперед заданное число  (конечное или равное ), можно так переставить члены в этом ряду, что преобразованный ряд будет иметь своей суммой именно число . Так, например, если в ряде

     (*)

переставить члены так, чтобы после одного положительного следовали два отрицательных:

,

то получившийся ряд имеет сумму , т. е. вдвое меньшую, чем (*).