ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — важный раздел современной математики. Как самостоятельная наука Ф. а. оформился на рубеже XIX и XX вв., когда обнаружилась глубокая аналогия между некоторыми понятиями алгебры, анализа и геометрии. Ф. а. объединяет и обобщает идеи различных отделов классического анализа (например, вариационное исчисление, интегральное и дифференциальное исчисление, интегральные и дифференциальные уравнения), теории множеств, линейной алгебры и многомерной геометрии.

Наиболее важным понятием. Ф. а. является общее понятие пространства. Для Ф. а. характерно рассмотрение бесконечномерных пространств, состоящих из функций, последовательностей или каких-либо Других общих объектов, а также операций над элементами таких пространств. Понятие n-мерного пространства необходимо было ввести уже при геометризации теории функций многих переменных. Пространства, точками которых являются функции или числовые последовательности, называются функциональными пространствами.

С развитием понятия пространства шло и обобщение понятия функции. Переменные величины, зависящие не от числового аргумента, а от некоторой функции, получили название функционалов. Функционал — числовая функция, определенная на некотором функциональном пространстве.

Было установлено, что многие свойства уравнений связаны с чисто алгебраическими соотношениями между операторами дифференцирования, интегрирования, умножения на функцию и т. д. Рассмотрение алгебраических свойств этих операторов лежит в основе операторного исчисления — одного из отделов Ф. а. Одной из важнейших идей Ф. а. является идея спектрального разложения линейного оператора.

Методы Ф. а. широко применяются как в математике, так и в современной физике и химии (например, квантовой физике и квантовой химии). Более того, сам Ф. а. и пути дальнейшего его развития в значительной мере зависят от идей и задач современной квантовой физики.