ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ (или функциональное соответствие) — одно из важнейших понятий математики. Пусть имеется множество  и множество . Соответствие , которое каждому элементу  сопоставляет единственный элемент , называется функцией или функциональным соответствием. Тройку  называют при этом отображением множества  в (или на) множество  и обозначают . Обозначается Ф. обычно буквами  и т. д. Множество  называется при этом областью определения Ф. Множество  называется множеством значений Ф. (или областью изменения Ф.) и обозначается . Часто множества  и  не указывают, а подразумевают. Допустимы также обозначения Ф.:

; ; ; ; ; .

Элемент  из  называют переменной (переменным) или аргументом; элемент  из  называют значением Ф. на элементе  или образом элемента  при отображении .

Иногда область определения  функции называют областью отправления или источником, а множество значений  (область изменения Ф.) называют областью прибытии или целью. В зависимости от природы множеств  и  получают различные типы Ф. Если  и  — некоторые множества действительных чисел, т. е.  и  принимают действительные числовые значения, то имеем Ф. действительной (вещественной) переменной. Если  — некоторое множество действительных чисел, а  — некоторое множество комплексных чисел, то имеем комплексно-значную Ф. действительной переменной (действительного переменного). Если  и  — некоторые множества комплексных чисел, то имеем комплексную Ф. комплексной переменной. Если — множество упорядоченных наборов из  элементов , где  принимают числовые значения, a  —некоторое множество действительных чисел, то имеем числовую Ф. многих переменных: .

Чаще всего рассматривают Ф., область значений которой есть числовое множество; если же область значений не есть числовое множество, то это обычно отмечается в названии Ф.: вектор функция, Ф., принимающая матричные значения. В случае, когда множество  не является числовым множеством, употребляют термины: оператор, функционал и т. д.

Ф. может задаваться одним или несколькими аналитическими выражениями, словесным определением (вербально), таблицей, графически, графами (стрелочное задание функций) и т. д., лишь бы был задан закон однозначного соответствия: .

Композиция двух Ф. (или суперпозиция, или сложная Ф.), вообще говоря, не коммутативна, т. е.  и  будут в общем случае разными Ф.

Принятое в старых руководствам определение Ф. как переменной величины несовершенно, поскольку при этом используется нестрогое понятие переменной величины.

Примеры и различные типы Ф. указаны в Аналитическая функция, Элементарные функции, График функции, Непрерывная функция, Обратные тригонометрические функции, Периодическая функция, Ступенчатая функция, Целая часть, Четная функция.

См. также: Многозначная функция, Соответствие, Инъекция, Сюръекция, Биекция.