- ФАКТОР-ГРУППА
- ФАКТОРИАЛ
- ФАЛЕСА ТЕОРЕМА
- ФЕДОРОВСКИЕ ГРУППЫ
- ФЕЙЕРБАХА ТЕОРЕМА
- ФЕРМА БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА
- ФЕРМА ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА
- ФЕРМА МАЛАЯ ТЕОРЕМА
- ФЕРМА ТОЧКА
- ФИБОНАЧЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
- ФИБОНАЧЧИ ЧИСЛА
- ФИГУРА
- ФИГУРА ВРАЩЕНИЯ
- ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА
- ФЛЮЕНТА
- ФЛЮКСИЙ ИСЧИСЛЕНИЕ
- ФЛЮКСИЯ
- ФОКАЛЬНЫЙ РАДИУС
- ФОКУС
- ФОРМА
- ФОРМАЛИЗМ
- ФОРМУЛА
- ФОРМЫ
- ФРОНТАЛЬ
- ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
- ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ
- ФУНКЦИОНАЛ
- ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
- ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
- ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО
- ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
- ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
- ФУНКЦИЯ
- ФУНКЦИЯ ОТ ФУНКЦИИ
- ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
- ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛ
- ФУРЬЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
- ФУРЬЕ МЕТОД
- ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
- ФУРЬЕ РЯД
ФУНКЦИЯ
ФУНКЦИЯ (или
функциональное соответствие) — одно из важнейших понятий математики. Пусть
имеется множество и
множество
. Соответствие
, которое каждому элементу
сопоставляет
единственный элемент
,
называется функцией или функциональным соответствием. Тройку
называют при
этом отображением множества
в (или на) множество
и обозначают
. Обозначается Ф.
обычно буквами
и т. д.
Множество
называется
при этом областью определения Ф. Множество
называется множеством значений Ф. (или областью изменения
Ф.) и обозначается
.
Часто множества
и
не указывают, а
подразумевают. Допустимы также обозначения Ф.:
;
;
;
;
;
.
Элемент из
называют переменной (переменным) или аргументом;
элемент
из
называют значением Ф.
на элементе
или
образом элемента
при
отображении
.
Иногда область определения функции называют областью отправления или источником, а множество значений
(область изменения Ф.)
называют областью прибытии или целью. В зависимости от природы множеств
и
получают
различные типы Ф. Если
и
— некоторые множества действительных
чисел, т. е.
и
принимают действительные
числовые значения, то имеем Ф. действительной (вещественной) переменной. Если
— некоторое множество
действительных чисел, а
—
некоторое множество комплексных чисел, то имеем комплексно-значную Ф.
действительной переменной (действительного переменного). Если
и
— некоторые множества комплексных
чисел, то имеем комплексную Ф. комплексной переменной. Если
— множество упорядоченных наборов
из
элементов
, где
принимают числовые
значения, a
—некоторое
множество действительных чисел, то имеем числовую Ф. многих переменных:
.
Чаще всего рассматривают Ф., область
значений которой есть числовое множество; если же область значений не есть
числовое множество, то это обычно отмечается в названии Ф.: вектор функция, Ф.,
принимающая матричные значения. В случае, когда множество не является числовым множеством,
употребляют термины: оператор, функционал и т. д.
Ф. может задаваться одним или
несколькими аналитическими выражениями, словесным определением (вербально),
таблицей, графически, графами (стрелочное задание функций) и т. д., лишь бы был
задан закон однозначного соответствия: .
Композиция двух Ф. (или суперпозиция, или сложная Ф.), вообще говоря, не
коммутативна, т. е. и
будут в
общем случае разными Ф.
Принятое в старых руководствам определение Ф. как переменной величины несовершенно, поскольку при этом используется нестрогое понятие переменной величины.
Примеры и различные типы Ф. указаны в Аналитическая функция, Элементарные функции, График функции, Непрерывная функция, Обратные тригонометрические функции, Периодическая функция, Ступенчатая функция, Целая часть, Четная функция.
См. также: Многозначная функция, Соответствие, Инъекция, Сюръекция, Биекция.