ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ функции  — функция , связанная с  формулой

.

При этом предполагается, что формула Фурье

имеет место для всех значений  в промежутке  за исключением, быть может, лишь конечного числа точек.

Обратное Ф. п. выражается формулой

.

Функции

,

называются соответственно косинус- и синус- преобразованием Фурье.

Если функция  четная, то ; если же функция  нечетна я, то . В общем случае  можно представить в виде суммы четной  и нечетной  функций:

, , .

Тогда , поэтому можно ограничиться косинус- и синус- преобразованиями Фурье. Например, для

, ,

а для

, .

Если  абсолютно интегрируема в промежутке , то функция  непрерывна во всем этом промежутке и стремится к нулю при . Если же абсолютно интегрируема в промежутке   ( — натуральное число), то  имеет  производных , которые при  все стремятся к нулю.

Понятие Ф. п. можно обобщить на случай функции многих переменных. В частности, если  абсолютно интегрируема по обеим переменным  в промежутке , то ее Ф. п. имеет вид:

,

.

Ф. п. применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, в теории линейных систем и др.