- ЧАСТИЧНО-УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО
- ЧАСТИЧНЫЙ ПРЕДЕЛ
- ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
- ЧАСТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- ЧАСТНОЕ ОТ ДЕЛЕНИЯ
- ЧАСТНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ
- ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ
- ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
- ЧАСТОТА
- ЧЕБЫШЕВА ЗАКОН
- ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ
- ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО
- ЧЕВИАНА ПРЯМАЯ
- ЧЕВЫ ТЕОРЕМА
- ЧЕРТЕЖ ФИГУРЫ
- ЧЕТВЕРКИ-БЛИЗНЕЦЫ
- ЧЕТНАЯ ПОДСТАНОВКА
- ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ
- ЧЕТНЫЕ ЧИСЛА
- ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ
- ЧИСЛЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ
- ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- ЧИСЛИТЕЛЬ
- ЧИСЛО
- ЧИСЛОВАЯ ОСЬ
- ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
- ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
- ЧЛЕН МНОГОЧЛЕНА
- ЧЛЕН ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ. 1°. Ч. п. функции нескольких
переменных по переменному в точке
— конечный предел
, где
— частное приращение
функции
в
точке
; при этом
предполагается, что функция
определена в некоторой окрестности
точки
. Ч.
п. по
является
производной функции
одного переменного
в точке
(остальные переменные зафиксированы
на значениях
).
Ч. п. есть функция координат точки , т. е. является функцией
тех же переменных
,
что и функция
.
Для обозначения Ч. п. приняты символы:
,
(использовать для Ч. п. круглое
вместо прямого
в обозначении
обычной производной предложил Якоби):
,
,
и
. В случае функции
двух переменных Ч. п.
в точке
имеет такой
геометрический смысл: плоскость
пересекает поверхность
по некоторой кривой
; если
существует, то существует
касательная в точке
к
кривой
; причем если
есть угол, образуемый
этой касательной с плоскостью
, то
(рис. 135).
Рис. 135
2°. Ч. и. высшего
порядка.
Частная производная 2-го порядка от функции по переменным
и
определяется как Ч. п. по
от Ч. п. данной функции
по
и обозначается:
, или
. Таким образом,
. Аналогично
определяется Ч. п. 2-го порядка по другим парам переменных (взятых в
определенном порядке):
(короче обозначается:
). Всего Ч; п.
2-го порядка от функции двух переменных
. Ч. п. 3-го порядка определяется как Ч. п.
от Ч. п. 2-го порядка и обозначается аналогично предыдущему, например:
,
и
т. д. — всего Ч.
п. 3-го порядка.
Аналогично определяется и обозначается
Ч. п. 4-го, 5:го и т. д. порядков для функции от
переменных. Ч. п. k-го порядка от функции
переменных
будет
. Однако при
широких условиях число различных Ч. п. k-го порядка
значительно уменьшается (см. Перестановка дифференцирований).
Приведем формальное индуктивное определение Ч. п. высшего порядка. Ч. п. 1-го.
порядка по переменному
в точке
от функции
определена в 1°.
Ч. п. k-го порядка по
переменным
(индексы
образуют
некоторое размещение с повторениями из цифр
) в точке
от функции
называется Ч. п. по
переменному
в
точке
от
функции, являющейся Ч. п.
-го порядка по переменным
от функции
, предполагая, что
эта Ч. п.
-го
порядка существует во всех точках некоторой окрестности точки
. Эта Ч. п. k-го порядка
обозначается символом:
.
Как следует из определения, для существования k-й
Ч.
п. в точке необходимо существование предыдущей Ч. п. в некоторой окрестности
точки .