ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ. 1°. Ч. п. функции нескольких переменных по переменному в точке — конечный предел , где — частное приращение функции в точке ; при этом предполагается, что функция определена в некоторой окрестности точки . Ч. п. по является производной функции одного переменного в точке (остальные переменные зафиксированы на значениях ).

Ч. п. есть функция координат точки , т. е. является функцией тех же переменных , что и функция . Для обозначения Ч. п. приняты символы: , (использовать для Ч. п. круглое вместо прямого в обозначении обычной производной предложил Якоби): , , и . В случае функции двух переменных Ч. п. в точке имеет такой геометрический смысл: плоскость пересекает поверхность по некоторой кривой ; если существует, то существует касательная в точке к кривой ; причем если есть угол, образуемый этой касательной с плоскостью , то (рис. 135).

Рис. 135

2°. Ч. и. высшего порядка. Частная производная 2-го порядка от функции по переменным и определяется как Ч. п. по от Ч. п. данной функции по и обозначается: , или . Таким образом, . Аналогично определяется Ч. п. 2-го порядка по другим парам переменных (взятых в определенном порядке): (короче обозначается: ). Всего Ч; п. 2-го порядка от функции двух переменных . Ч. п. 3-го порядка определяется как Ч. п. от Ч. п. 2-го порядка и обозначается аналогично предыдущему, например:

и т. д. — всего Ч. п. 3-го порядка.

Аналогично определяется и обозначается Ч. п. 4-го, 5:го и т. д. порядков для функции от переменных. Ч. п. k-го порядка от функции переменных будет . Однако при широких условиях число различных Ч. п. k-го порядка значительно уменьшается (см. Перестановка дифференцирований). Приведем формальное индуктивное определение Ч. п. высшего порядка. Ч. п. 1-го. порядка по переменному в точке от функции определена в 1°. Ч. п. k-го порядка по переменным (индексы образуют некоторое размещение с повторениями из цифр ) в точке от функции называется Ч. п. по переменному в точке от функции, являющейся Ч. п. -го порядка по переменным от функции , предполагая, что эта Ч. п. -го порядка существует во всех точках некоторой окрестности точки . Эта Ч. п. k-го порядка обозначается символом: