ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ — раздел математики, посвященный приближенному вычислению определенных интегралов (в тех случаях, когда точное аналитическое вычисление невозможно или крайне сложно) и решению дифференциальных уравнений. При аналитических методах приближенного вычисления интегралов подынтегральную функцию заменяют каким-либо более простым выражением, чаще всего интерполяционным многочленом, принимающим в некоторых точках (узлах интерполяции)  значения . Тогда формулы Ч. и. имеют вид:

,

где  зависят от промежутка интегрирования, вида функции, числа узлов интерполяции. Эти формулы именуются квадратурными или формулами механических квадратур. Простейшими из них являются Котеса формулы (в них точки  делят отрезок  на равные части), к числу которых относятся общеупотребительные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона (или парабол) (см. Прямоугольников формула, Симпсона формула, Трапеций формула). В случае, когда узлы интерполяции не делят промежуток  на равные части, были получены формулы для вычисления интеграла от многочлена степени не выше  ( — число узлов интерполяции) Гауссом,  — Марковым,  — Чебышевым. Ряд формул Ч. и. получил акад. В. А. Стеклов. Часто употребляется формула Эйлера, дающая выражение интеграла через значения подынтегральной функции и ее производных в некоторых точках и через числа Бернулли (см. Эйлера формула, Бернулли числа), и Лапласа формула, которая дает выражение интеграла через значения функции и конечные разности этих значений.

Приближенное решение дифференциального уравнения получается, если искать решение в виде бесконечного ряда и ограничиться конечным числом его членов (см. Неопределенных коэффициентов метод). При решении различных краевых задач часто пользуются тригонометрическими рядами и более общими рядами ортогональных функций. Если уравнение содержит члены с малыми постоянными множителями, так что этими членами приближенно можно пренебречь по сравнению с остальными, то решение этого уравнения ищут в виде ряда, первым членом которого является решение без малых членов, а остальные члены ряда расположены по возрастающим степеням малой величины, входящей в уравнение (малого параметра). Для решения дифференциальных уравнений существуют многочисленные аналитические методы (см. Последовательных приближений метод, Ритца метод).

Численные методы позволяют находить приближенное решение при некоторых значениях аргумента, пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках.

Наиболее часто используются Рунге и Эйлера методы, а также различные разностные формулы, где решение ищется в виде линейной комбинации:

, , , .

Примером может служить Адамса метод и его обобщение, полученное Штёрмером.

Существуют графические методы решения дифференциальных уравнений, многие из которых строятся на основании численных методов. В последнее время для решения дифференциальных уравнений широко используются электронные вычислительные машины.