ЭЙЛЕРА ИНТЕГРАЛЫ

ЭЙЛЕРА ИНТЕГРАЛЫ первого и второго рода — соответственно интегралы вида:

 и .

Первый Э. и. представляет собой функцию от двух параметров  и  — функцию  (бета): он изучался И. Ньютоном, Дж. Валлисом, Эйлером, именем которого и назван по предложению Лежандра. Функция  симметрична, т. е.  имеет место формула:

,

последовательное применение которой приводит (при ) к

;

если же и  равно натуральному числу , то . Имеют место также формулы:

,  (при ).

Второй Э. и.  (гамма-функция) рассматривался Эйлером (1729—1730). Название дано Лежандром. Формула  определяет справа от мнимой оси регулярную функцию, которая может быть продолжена влево от мнимой оси. Оказывается, что  — мероморфная функция, имеющая простые полюса  с вычетом  в полюсе .  обладает рядом интересных свойств. Например: , , .

Э. и. первого и второго рода связаны соотношением: . При  имеет место известная формула Эйлера — Гаусса:

.

При натуральном я выполняется: .  при .

Для  может быть получено выражение в виде бесконечного произведения:

,

где  — Эйлера постоянная,  — натуральное. Из этой формулы видно, что  есть целая функция.

Имеет место также формула:

.

Функция  может быть выражена также контурным интегралом вида

,

где  — контур, представленный на рис. 141, а или в виде:

(контур  дан на рис. 141,б). Через интеграл Эйлера может быть выражена гипергеометрическая функция:

.

Рис. 141