ЭЛЛИПС

ЭЛЛИПС — множество точек плоскости , для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и , лежащих в , есть величина постоянная, большая, чем расстояние между и , и равная данному числу (или отрезку ). Точки и называются фокусами Э. Расстояние между фокусами, обозначаемое через , называется фокальным. Данное число (отрезок) называется большой осью.

Э. можно начертить так. Взяв нерастяжимую нить длиной , закрепим ее концы в точках и (рис. 142). Зачтем, натянув эту нить острием карандаша, будем двигать острие карандаша по бумаге. Траектория движения острия карандаша и опишет замкнутую кривую — Э., для которой , отрезки и называются фокальными радиусами.

Рис. 142

Каноническое (простейшее) уравнение Э. в прямоугольных декартовых координатах имеет вид:

где . Число (отрезок) называется малой осью Э.

Из уравнения Э. вытекает, что , . Отсюда следует, что координаты точек эллипса удовлетворяют условиям: , , т. е. Э. расположен внутри прямоугольника со сторонами и . Из уравнения Э. также следует, что Э. имеет центр и две оси симметрии.

Число называется эксцентриситетом Э. Для Э. всегда . Если (фокусы совпадают), то Э. вырождается в окружность, для которой совпадающие фокусы являются центром, а эксцентриситет (так как при этом ).

Параметрические уравнения Э. имеют вид:

, ,

Они легко усматриваются из рисунка 143: если отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым, то точка этого отрезка опишет Э. Если точку взять на продолжении отрезка (на рисунке точка ), то описываемая ею кривая будет также Э. На указанном свойстве построен эллиптический циркуль — прибор, вычерчивающий Э. с различными осями.

Рис. 143

Если спроектировать какую-либо окружность на плоскость, не перпендикулярную и не параллельную плоскости окружности, то в проекции получится Э. Если круговой цилиндр пересечь наклонной плоскостью или круговой конус пересечь наклонной плоскостью, имеющей различные общие точки с противоположными образующими конуса, то в сечении получится Э.

Прямые, уравнения которых называются директрисами Э.

Касательная к Э. составляет равные углы с фокальными радиусами, проведенными в точку касания (рис. 144). Отсюда вытекает, что перпендикуляр к касательной в точке касания составляет равные углы с фокальными радиусами. Это свойство можно истолковать как свойства углов падения и отражения, изучаемых в оптике: если точечный источник света поместить в фокусе и луч света направить на зеркальную поверхность по , то отраженный луч пойдет по , т. е. попадет в точку . Отсюда происходит и название фокуса (от лат. focus — очаг, огонь).

Рис. 144

Свойства Э. используются в технике в конструкциях некоторых станков, где имеются зубчатые шестерни эллиптической формы. Траектории движения планет нашей солнечной системы являются различными Э. Свойства Э. используются также при изучении законов движения планет — законов Кеплера, Полярное уравнение Э. имеет вид: