ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ — интегралы вида

, ,

где  — рациональная функция своих аргументов. Эти интегралы, как правило, не берутся в элементарных функциях; если же они могут быть вычислены в элементарных функциях, то их называют псевдоэллиптическими. Все Э. и. с помощью элементарных подстановок (с точностью до слагаемых, выражающихся в конечном виде) приводятся к следующим трем стандартным интегралам:

, ,

 ().

Как показал Лиувилль, эти интегралы уже не берутся в конечном виде. Лежандр назвал их Э. и. соответственно первого, второго и третьего рода. Первые две зависят лишь от , а третий еще от одного, вообще говоря, комплексного параметра . Они могут быть записаны также в форме Лежандра:

, , .

Если рассмотреть первые два интеграла в пределах от нуля до , то получим вполне определенные функции  и . Эти функции глубоко изучены и играют очень важную роль в анализе и его приложениях.

При  Э. и. Лежандра  и  называют полными.