ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Действительная функция , определенная в некоторой области  пространства переменных , называется Г. ф. в , если все ее вторые частные производные непрерывны в  и

,

Г. ф. обладает рядом замечательных свойств, среди них:

1. Среднее значение Г, ф.  по сфере  радиуса  с центром в точке  равняется . Здесь предполагается, что  гармонична внутри сферы ; среднее значение есть интеграл , деленный на площадь сферы.

2. Как следствие свойства 1 имеет место принцип максимума: максимальное значение, а также минимальное функции  в замыкании  ограниченной области  при условии, что  гармонична в области  достигается в точках границы области .

3. Для функции  комплексного переменного, аналитической в области , имеет место следующее утверждение: вещественная и мнимая части , т. е. , , где , , являются Г. ф.; более того, ,  — пара сопряженных Г. ф. (см. Коши—Римана уравнения).

4. Пусть ,  — замена переменных  на  ортогональным преобразованием. Если  — Г. ф., то функция

будет Г. ф. переменных , т. е.

.

В n-мерном пространстве переменных  замечательны Г. ф. вида , где

;

  — произвольная, но фиксированная точка. Для  замечательна Г. ф.

,

  — произвольна, но фиксирована.

Эти функции позволяют построить новые Г. ф. следующим образом: если  — некоторая поверхность в  и  — функция на , то

является Г. ф. всюду в  кроме поверхности .