ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР

ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР: 1°. Г. о. клеточного комплекса — оператор , определенный на цепях клеточного комплекса, т. е. на целочисленных формальных линейных комбинациях ориентированных клеток комплекса , где — целые числа, — ориентированные клетки. На каждую клетку размерности оператор действует по формуле

, (*)

где , — все клетки размерности . Символ означает целое число (коэффициент инцидентности), определяемое следующим образом. Пусть — ориентированные клетки и , — соответствующие им характеристические отображения. Граница множества отображается под действием в -мерный остов пространства . Этот остов стандартным образом отображается в пространство ; (здесь — -мерный остов, а означает топологическое пространство , в котором подмножество объявлено одной точкой (топология определяется топологией ). Пространство имеет клеточное разбиение, являющееся букетом -мерных сфер. Рассмотрим сквозное отображение:

Всякое отображение ориентированной сферы в букет ориентированных сфер гомотопически эквивалентно (см. Гомотопическая эквивалентность) отображению, построенному по следующей конструкции: сначала сфера стягиванием в точку нескольких подмножеств , , превращается в букет сфер (Для этого надо в качестве выбрать сферы размерности , пересекающиеся между собой только в одной точке.) Далее букет отображается в букет так: сферы букета отображаются в соответствующие (по номеру) сферы букета ; при этом каждое таксе отображение , (с точностью до гомотопической эквивалентности) определяется целым числом — степенью отображения.

Итак, граница шара отображена в , а среди есть та сфера, которая является образом клетки при отображении (пополненным одной замыкающей точкой).

Пусть номер этой сферы . Тогда

Действие оператора , определенное формулой (*), распространяется на множество всех цепей по линейности, т. е.

2°. Г. о. симплициального комплекса — оператор , определенный на цепях симплициального комплекса, т. е. на целочисленных линейных комбинациях ориентированных симплексов где — целые числа, — ориентированные симплексы. На каждый симплекс размерности оператор действует по формуле