ДЕДЕКИНДОВО СЕЧЕНИЕ

ДЕДЕКИНДОВО СЕЧЕНИЕ — одно из основных понятии при методе введения иррациональных чисел, предложенном немецким математиком Дедекиндом (1831—1916). Суть Д. с. заключается в следующем. Пусть  — множество рациональных чисел, которое является упорядоченным. Назовем сечением множества рациональных чисел  всякое разбиение его на два непустых непересекающихся подмножества  и  — на два класса; класс  назовем нижним (левым), а класс  — верхним (правым). При этом должны выполняться условия:

1) Каждое число из класса  меньше всякого числа из класса ; 2) в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем—нет наименьшего. Тогда сечение , введенное таким образом на множестве рациональных чисел, определяет некоторое иррациональное число .

С помощью Д. с. также можно определить рациональное число  как сечение (разбиение) множества  на два класса: к нижнему классу  отнесем числа, меньшие или равные числу а, к верхнему классу  — числа, большие .

Во множестве таких чисел-разбиений вводятся операции сложения, вычитания и др.

Д. с. — это только один из способов определения иррационального числа. Существуют и другие способы определения понятия иррационального числа, например через бесконечные непериодические дроби.

Пример.  — иррациональное число, оно разбивает множество рациональных чисел на два класса: один из них содержит отрицательные числа, число нуль и положительные числа , такие, что , другой класс — положительные числа , такие, что .

См. также: Действительные числа, Рациональные числа, Комплексное число, Гиперкомплексные числа, Бесконечная десятичная дробь.