ДЕЗАРГА ТЕОРЕМА

ДЕЗАРГА ТЕОРЕМА — одна из интересных и важных теорем проективной геометрии. Д. т. формулируется так: если соответственные стороны двух трехвершинников  и  пересекаются в трех точках , принадлежащих одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины, проходят через одну точку  (первая Д. т. (рис. 47)).

Рис. 47

Верна и обратная теорема: если прямые, соединяющие соответственные вершины двух трехвершинников  и , проходят через одну точку, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в трех точках, принадлежащих одной прямой. Точка , о которой говорится в Д. т., называется центром гомологии, а прямая, на которой лежат точки пересечения , — ось гомологии.

Если доказать первую Д. т., то вторая Д. т. следует из первой по принципу двойственности (см. Двойственности принцип). Д. т. справедлива для трехвершинников, лежащих в одной или разных плоскостях. Известный немецкий математик Д. Гильберт доказал, что если два трехвершинника  и  лежат в одной плоскости, то доказать Д. т., используя только аксиомы проективной плоскости, не выходя в пространство, нельзя. Следовательно, Д. т. можно рассматривать как аксиому, не зависимую от остальных аксиом плоской проективной геометрии.

Д. т. часто называют теоремой о гомологичных треугольниках. Д. т. иногда используется в конструктивной геометрии. Так, задача «провести через данные две точки прямую с помощью линейки (односторонней), длина которой меньше длины отрезка » решается на основе Д. т. Ряд задач с недоступными элементами также решается с привлечением Д. т. Теорема названа по имени французского математика Ж. Дезарга (1593—1662), доказавшего ее.