ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА — элементы множества , на котором определены операции « + » и «•» (сложения и умножения), элементы 0 и 1 (нуль и единица), отношение порядка «», удовлетворяющие установленной системе аксиом (свойств).

Три группы аксиом Д. ч. таковы:

I

1.  для любых  существует единственный .

2.  для любых .

3.  для любых .

4.  для любого .

5.  (для любого  существует , противоположный ).

6.  (для любых  существует единственный ).

7.  для любых .

8.  для любых .

9.  для любых .

10.   для любого .

11.  (для любого   существует ,  — обратный элемент для ).

II

12.  или  для любых .

13.  для любого  ( — знак отрицания высказывания).

14.  для любых .

15.  для любых .

16.  для любых .

17. Если  и , то существует , такое, что  для любых  (аксиома Архимеда).

III

18. Для любой фундаментальной последовательности  элементов  существует в  элемент  такой, что

.

Д. ч. образуют поле (аксиомы 1—11 — аксиомы поля) или числовое поле. Множество Д. ч. образует упорядоченное множество (аксиомы 12—17). Все поля Д. ч. изоморфны: поле Д. ч. определено однозначно с точностью до изоморфизма. Поле Д. ч. содержит подполе рациональных чисел . Множество Д. ч.  несчетно и непрерывно.

Д. ч. можно определить и как сечение Дедекинда в , а также с помощью десятичных дробей: конечных и бесконечных; при этом бесконечная непериодическая десятичная дробь будет выражать иррациональное число, а конечные и периодические дроби будут выражать рациональные числа.

Множество Д. ч. есть объединение множества  и множества иррациональных чисел.

Д. ч. изображаются точками на координатной прямой так, что каждому действительному числу соответствует точка на координатной прямой и каждой точке координатной прямой соответствует действительное число. Термин Д. ч. противопоставляется числам мнимым (комплексным). Действительные числа иначе называют вещественными числами.

См. также: Дедекиндово сечение, Десятичная дробь, Натуральное число, Целые числа, Рациональные числа, Иррациональные числа, Комплексное число, p-адические числа, Алгебраическое число, Трансцендентное число.