ДЕЛЕНИЕ КРУГА

ДЕЛЕНИЕ КРУГА (окружности) на  конгруэнтных частей с помощью циркуля и линейки — это одна из древнейших задач. Древнегреческие математики могли делить круг циркулем и линейкой на 3, 4, 5, 15 частей, а также неограниченно удваивать число делений. К. Гаусс доказал, что можно осуществить Д. к. на 17 равных частей, а следовательно, и построить циркулем и линейкой правильный 17-угольник. (Правильный 17-угольник изображен на могиле Гаусса.) Он также доказал, что Д. к. на  равных частей можно выполнить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число  имеет вид:

,

где  — различные простые числа Ферма, , a .

Задача о Д. к. сводится к решению двучленного уравнения вида ; если корни этого уравнения выражаются через квадратные радикалы, то их можно построить циркулем и линейкой согласно критерию разрешимости задач на построение этими же инструментами; отсюда вытекает, что можно построить правильный n-угольник при тех же условиях. Например, правильный 7-, 9-, 11-угольники циркулем и линейкой построить нельзя.

См. также: Трисекция угла, Правильный многоугольник.