ДИФФЕРЕНЦИАЛ

ДИФФЕРЕНЦИАЛ: 1°. Д. функции вещественного переменного — функция двух аргументов — и ( — приращение ), обладающая следующими свойствами:

1) линейная по , т. е. ,,

2) , где .

Д. функции существует и однозначно определен тогда и только тогда, когда существует производная от ; в этом случае Д. имеет вид: .

Д. функции обозначается символом (, или , ).

Определение Д. функции , содержащееся в свойствах 1), 2), часто формулируют так: Д. есть главная линейная часть приращения функции .

В случае , , , т. е. , откуда .

Формула для независимого переменного требует следующего уточнения: . Здесь подчеркнуто, что является линейной формой от , и тот факт, что и являются различными математическими понятиями: — линейная форма, — аргумент этой линейной формы.

При этом Д. функции является линейной формой от .

2°. Д. функции нескольких вещественных переменных — функция от двух наборов переменных и (где — приращения аргументов соответственно), обладающая следующими двумя свойствами:

1) линейная по , т. е. .

2) , где .

Для существования и единственности Д. функции достаточно непрерывности частных производных , .

При этом Д. функции (обозначаемый ) равен:

, где ,

или, учитывая, что (для функции ),

в смысле равенства линейных форм от . Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке существует Д. функции.

3°. Д. отображения , где — области в евклидовых пространствах , соответственно.

Такое отображение аналитически задается с помощью функций от вещественных переменных. Пусть и , — координаты точек соответственно. Если , то

Рассмотрим дифференциалы функций в точке :

(*)

Система равенств (*) определяет линейное отображение линейного пространства векторов в линейное пространство векторов .Здесь , , так что и — векторнозначные линейные формы. Это линейное преобразование называется Д. отображения в точке и обозначается .

Д. отображения обладает свойством: длина вектора

является величиной бесконечно малой по сравнению с длиной вектора (под длиной вектора понимается число ; ; ).

Для существования и единственности Д. отображения достаточно непрерывности всех частных производных в рассматриваемой области, ; . Отображение называется дифференцируемым в точке , если существует Д. отображения .

Свойства Д. функции одного или нескольких переменных:

1) при любых числах и дифференцируемых функциях и (линейность Д.);

2) для любых дифференцируемых функций .

Особое значение имеет свойство инвариантности Д. относительно замены переменных. Оно состоит в следующем:

Пусть , где , — дифференцируемые функции переменных . Тогда

или, с учетом правила дифференцирования сложной функции,

Отсюда вытекает:

(**)

и, следовательно,

В этой формуле Д. функции , равный по определению , представлен в другом виде: .

В случае, когда и — независимая переменная, по определению.

В обоих случаях ( и — независимая переменная) ; таким образом, формула (**) не изменяется при замене независимой переменной на зависимую переменную . (Формула (**), выражающая дифференциал функции , инвариантна относительно замены переменной.)

Инвариантность Д. функции нескольких переменных есть свойство, выражаемое формулой: