- ДАЛАМБЕРА ЛЕММА
- ДАЛАМБЕРА УРАВНЕНИЕ
- ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА
- ДВОЙНАЯ ТОЧКА
- ДВОЙНОЙ РЯД
- ДВОЙНОЙ ЭЛЕМЕНТ
- ДВОЙСТВЕННОСТИ ПРИНЦИП
- ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ КРИВАЯ
- ДВУГРАННЫЙ УГОЛ
- ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД
- ДВУЧЛЕН
- ДВУЧЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ
- ДЕДЕКИНДОВО СЕЧЕНИЕ
- ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОД
- ДЕДУКЦИИ ТЕОРЕМА
- ДЕДУКЦИЯ
- ДЕЗАРГА ТЕОРЕМА
- ДЕЗАРГОВА ГЕОМЕТРИЯ
- ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
- ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
- ДЕКАРТОВ ЛИСТ
- ДЕКАРТОВ ОВАЛ
- ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ
- ДЕКРЕМЕНТ ПОДСТАНОВКИ
- ДЕЛЕНИЕ
- ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
- ДЕЛЕНИЕ КРУГА
- ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА
- ДЕЛИЙСКАЯ ЗАДАЧА
- ДЕЛИТЕЛЬ ЕДИНИЦЫ
- ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНА
- ДЕЛИТЕЛЬ НУЛЯ
- ДЕЛИТЕЛЬ ЦЕЛОГО ЧИСЛА
- ДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЦИРКУЛЬ
- ДЕЛОССКАЯ ЗАДАЧА
- ДЕЛЬТОИД
- ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ
- ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ
- ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
- ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
- ДЕСЯТИЧНЫЙ ЛОГАРИФМ
- ДЕТЕРМИНАНТ
- ДЕФЕКТ ТРЕУГОЛЬНИКА
- ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
- ДИАГОНАЛЬ
- ДИАГОНАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
- ДИАГРАММА
- ДИАМЕТР
- ДИАМЕТРАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
- ДИВЕРГЕНЦИЯ
- ДИЗЪЮНКЦИЯ
- ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
- ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
- ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
- ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
- ДИРЕКТРИСА
- ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА
- ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП
- ДИРИХЛЕ РЯДЫ
- ДИРИХЛЕ ТЕОРЕМА
- ДИРИХЛЕ УСЛОВИЯ
- ДИРИХЛЕ ФУНКЦИЯ
- ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
- ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
- ДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- ДИСКРЕТНОСТЬ
- ДИСКРИМИНАНТ МНОГОЧЛЕНА
- ДИСПЕРСИЯ
- ДИСТРИБУТИВНАЯ СТРУКТУРА
- ДИСТРИБУТИВНОСТЬ
- ДИФФЕОМОРФИЗМ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ БИНОМ
- ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
- ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ
- ДЛИНА ВЕКТОРА
- ДЛИНА КРИВОЙ
- ДЛИНА ЛОМАНОЙ
- ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
- ДЛИНА ОТРЕЗКА
- ДЛИНА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПОДСТАНОВКИ
- ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
- ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ
- ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ
- ДОДЕКАЭДР
- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО
- ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО
- ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ
- ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ УГОЛ
- ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ
- ДРОБНАЯ ЧАСТЬ
- ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
- ДРОБЬ
- ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
- ДУГА
- ДЮПЕНА ИНДИКАТРИСА
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ДИФФЕРЕНЦИАЛ: 1°. Д.
функции вещественного переменного
— функция
двух
аргументов —
и
(
— приращение
), обладающая
следующими свойствами:
1) линейная по
, т. е.
,,
2)
, где
.
Д. функции существует и
однозначно определен тогда и только тогда, когда существует производная от
; в этом случае Д.
имеет вид:
.
Д. функции обозначается символом
(
, или
,
).
Определение Д. функции , содержащееся в
свойствах 1), 2), часто формулируют так: Д. есть главная линейная часть
приращения функции
.
В случае ,
,
, т. е.
, откуда
.
Формула для
независимого переменного
требует следующего
уточнения:
. Здесь подчеркнуто, что
является линейной формой от
, и тот факт, что
и
являются
различными математическими понятиями:
— линейная
форма,
— аргумент этой линейной формы.
При этом Д. функции является линейной формой от
.
2°. Д. функции нескольких вещественных переменных — функция
от двух наборов переменных
и
(где
— приращения
аргументов
соответственно), обладающая
следующими двумя свойствами:
1) линейная по
,
т. е.
.
2)
, где
.
Для существования и единственности Д.
функции достаточно
непрерывности частных производных
,
.
При этом Д. функции (обозначаемый
) равен:
, где
,
или,
учитывая, что (для
функции
),
в
смысле равенства линейных форм
от . Функция
называется дифференцируемой в
точке
, если в этой точке существует Д.
функции.
3°. Д. отображения , где
— области в
евклидовых пространствах
,
соответственно.
Такое отображение аналитически задается
с помощью функций
от
вещественных
переменных. Пусть
и
,
— координаты
точек
соответственно.
Если
, то
Рассмотрим дифференциалы функций в точке
:
(*)
Система равенств (*) определяет линейное
отображение линейного пространства векторов
в
линейное пространство
векторов
.Здесь
,
, так что
и
— векторнозначные линейные формы. Это линейное
преобразование называется Д. отображения
в точке
и обозначается
.
Д. отображения
обладает свойством: длина
вектора
является
величиной бесконечно малой по сравнению с длиной вектора (под длиной вектора
понимается число
;
;
).
Для существования и единственности Д.
отображения достаточно
непрерывности всех частных производных в рассматриваемой области,
;
.
Отображение
называется дифференцируемым в
точке
, если существует Д. отображения
.
Свойства Д. функции одного или нескольких переменных:
1) при любых числах
и
дифференцируемых функциях
и
(линейность Д.);
2) для любых дифференцируемых функций
.
Особое значение имеет свойство инвариантности Д. относительно замены переменных. Оно состоит в следующем:
Пусть , где
,
— дифференцируемые функции переменных
. Тогда
,
или, с учетом правила дифференцирования сложной функции,
.
Отсюда вытекает:
(**)
и, следовательно,
.
В этой формуле Д. функции , равный по определению
, представлен в
другом виде:
.
В случае, когда и
— независимая переменная,
по определению.
В обоих случаях ( и
— независимая переменная)
; таким образом,
формула (**) не изменяется при замене независимой переменной
на зависимую
переменную
.
(Формула (**), выражающая дифференциал функции
, инвариантна относительно замены
переменной.)
Инвариантность Д. функции нескольких
переменных есть
свойство, выражаемое формулой:
.
Инвариантность Д. отображения
есть свойство, выражаемое формулой:
(***)
где
— отображение,
определенное формулами:
,
.
Символом в формуле (***) обозначена суперпозиция
(композиция) линейных отображений
и
.
Пример. Пусть и
,
— дифференцируемые функции своих аргументов.
Рассмотрим
.
Используя свойства инвариантности, можно
вычислить Д. функции :
.