ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА от  переменных  — форма относительно дифференциалов , рассматриваемых переменных с коэффициентами, зависящими от . Д. ф. первой степени

называется Д. ф. Пфаффа (см. Пфаффа дифференциальная форма). Д. ф. второй степени имеет вид:

.

Д. ф. рассматриваются также на многообразии в заданной системе локальных криволинейных координат  В этом случае Д. ф. есть форма от дифференциалов  с коэффициентами, зависящими от , .

Важными примерами таких Д. ф. являются первая, вторая и третья квадратичные формы поверхности.

Д. ф. можно рассматривать на многообразии в целом. Задание Д. ф. на всем многообразии означает, что 1) в каждой локальной системе координат  (из числа покрывающих все многообразие) задана некоторая Д. ф. ; 2) если , где  — локальные системы координат, то две Д. ф.  и , индуцированные в , связаны соотношением:

где ,  — функции перехода от локальной системы координат  к локальной системе координат .

Коэффициенты Д. ф. определяют тензорное поле на многообразии. В терминах кососимметрических Д. ф. могут быть определены Бетти числа компактного многообразия.