- ДАЛАМБЕРА ЛЕММА
- ДАЛАМБЕРА УРАВНЕНИЕ
- ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА
- ДВОЙНАЯ ТОЧКА
- ДВОЙНОЙ РЯД
- ДВОЙНОЙ ЭЛЕМЕНТ
- ДВОЙСТВЕННОСТИ ПРИНЦИП
- ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ КРИВАЯ
- ДВУГРАННЫЙ УГОЛ
- ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД
- ДВУЧЛЕН
- ДВУЧЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ
- ДЕДЕКИНДОВО СЕЧЕНИЕ
- ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОД
- ДЕДУКЦИИ ТЕОРЕМА
- ДЕДУКЦИЯ
- ДЕЗАРГА ТЕОРЕМА
- ДЕЗАРГОВА ГЕОМЕТРИЯ
- ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
- ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
- ДЕКАРТОВ ЛИСТ
- ДЕКАРТОВ ОВАЛ
- ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
- ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ
- ДЕКРЕМЕНТ ПОДСТАНОВКИ
- ДЕЛЕНИЕ
- ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
- ДЕЛЕНИЕ КРУГА
- ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА
- ДЕЛИЙСКАЯ ЗАДАЧА
- ДЕЛИТЕЛЬ ЕДИНИЦЫ
- ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНА
- ДЕЛИТЕЛЬ НУЛЯ
- ДЕЛИТЕЛЬ ЦЕЛОГО ЧИСЛА
- ДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЦИРКУЛЬ
- ДЕЛОССКАЯ ЗАДАЧА
- ДЕЛЬТОИД
- ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ
- ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ
- ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
- ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
- ДЕСЯТИЧНЫЙ ЛОГАРИФМ
- ДЕТЕРМИНАНТ
- ДЕФЕКТ ТРЕУГОЛЬНИКА
- ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
- ДИАГОНАЛЬ
- ДИАГОНАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
- ДИАГРАММА
- ДИАМЕТР
- ДИАМЕТРАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
- ДИВЕРГЕНЦИЯ
- ДИЗЪЮНКЦИЯ
- ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
- ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
- ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ
- ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
- ДИРЕКТРИСА
- ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА
- ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП
- ДИРИХЛЕ РЯДЫ
- ДИРИХЛЕ ТЕОРЕМА
- ДИРИХЛЕ УСЛОВИЯ
- ДИРИХЛЕ ФУНКЦИЯ
- ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
- ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
- ДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- ДИСКРЕТНОСТЬ
- ДИСКРИМИНАНТ МНОГОЧЛЕНА
- ДИСПЕРСИЯ
- ДИСТРИБУТИВНАЯ СТРУКТУРА
- ДИСТРИБУТИВНОСТЬ
- ДИФФЕОМОРФИЗМ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ БИНОМ
- ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
- ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ
- ДЛИНА ВЕКТОРА
- ДЛИНА КРИВОЙ
- ДЛИНА ЛОМАНОЙ
- ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
- ДЛИНА ОТРЕЗКА
- ДЛИНА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПОДСТАНОВКИ
- ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
- ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ
- ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ
- ДОДЕКАЭДР
- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО
- ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО
- ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ
- ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ УГОЛ
- ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ
- ДРОБНАЯ ЧАСТЬ
- ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
- ДРОБЬ
- ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
- ДУГА
- ДЮПЕНА ИНДИКАТРИСА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения, содержащие искомые функции, их производные любых порядков и независимые переменные. Д. у. возникли в XVII в. в связи с потребностями механики и других разделов естествознания.
Приведем простейшую задачу, решение
которой сводится к Д. у. Если тело имеет температуру и находится в среде, температура
которой нуль, то падение этой температуры тела за время
с достаточной точностью дается формулой:
,
или
,
где
— некоторый постоянный
коэффициент. Если в последнем соотношении устремить
к нулю, получим:
. Для полученного
уравнения можно указать все частные решения — они даются формулой
, где
— постоянно.
Д. у. делятся на обыкновенные, в которые входят как неизвестные функции только одного переменного, и уравнения с частными производными, содержащие частные производные функций нескольких аргументов.
1°. Д. у. обыкновенные. Среди этих уравнений простейшим является уравнение 1-го порядка, т. е. уравнение вида:
.
Иногда его можно записать в виде:
. (*)
Последнее уравнение является частным случаем более общего уравнения:
.
Решить это уравнение — значит найти все кривые на плоскости, вдоль которых оно выполняется.
Уравнение (*) допускает геометрическую
интерпретацию. В каждой точке плоскости можно провести вектор с тангенсом наклона к
оси
. Таким образом,
получается поле направлений. Кривая
будет решением (*), если она в каждой своей
точке касается некоторого вектора поля направлений. Каждое Д. у. обыкновенное
имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому для нахождения
частного решения надо указать начальные данные, т. е. должно быть задано, через
какую точку проходит решение. Таким образом, семейство решений есть
однопараметрическое семейство кривых:
. (**)
Если из (**) соответствующим выбором можно получить любое
решение, то оно называется общим решением Д. у. обыкновенных.
В теории Д. у. обыкновенных изучаются также уравнения высших порядков, а именно уравнения вида:
и системы уравнений. Как правило, решить Д. у. обыкновенные в квадратурах (т. е. в элементарных функциях и их первообразных) невозможно, поэтому для их решения широко применяются приближенные методы: метод конечных разностей, графический метод, разложение в ряды. Большое значение имеют качественные методы.
2°. Д. у. с частными производными. Их главным
отличием от обыкновенных является то, что общее решение зависит не от
произвольных постоянных, а от произвольных функций. Например, общим решением Д.
у. является
выражение
,
где
и
— дважды
дифференцируемые произвольные функции.
Типичной задачей для Д. у. с частными производными
является задача Коши: найти решение Д.
у., которое при
обращается
в заданную функцию
,
а производные до
-го
порядка
,
(где
— порядок уравнения по
)
—
в некоторые заданные функции
. Обычно
в такого рода задачах переменная
играет
роль времени. Для уравнений порядка выше 1-го рассматриваются также краевые
задачи. Д. у. с частными производными являются основным математическим
аппаратом в гидромеханике, аэромеханике, теории упругости и т. п.