ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения, содержащие искомые функции, их производные любых порядков и независимые переменные. Д. у. возникли в XVII в. в связи с потребностями механики и других разделов естествознания.

Приведем простейшую задачу, решение которой сводится к Д. у. Если тело имеет температуру  и находится в среде, температура которой нуль, то падение этой температуры тела за время  с достаточной точностью дается формулой: , или , где  — некоторый постоянный коэффициент. Если в последнем соотношении устремить  к нулю, получим: . Для полученного уравнения можно указать все частные решения — они даются формулой , где  — постоянно.

Д. у. делятся на обыкновенные, в которые входят как неизвестные функции только одного переменного, и уравнения с частными производными, содержащие частные производные функций нескольких аргументов.

1°. Д. у. обыкновенные. Среди этих уравнений простейшим является уравнение 1-го порядка, т. е. уравнение вида:

.

Иногда его можно записать в виде:

.                (*)

Последнее уравнение является частным случаем более общего уравнения:

.

Решить это уравнение — значит найти все кривые на плоскости, вдоль которых оно выполняется.

Уравнение (*) допускает геометрическую интерпретацию. В каждой точке плоскости  можно провести вектор с тангенсом наклона к оси . Таким образом, получается поле направлений. Кривая  будет решением (*), если она в каждой своей точке касается некоторого вектора поля направлений. Каждое Д. у. обыкновенное имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому для нахождения частного решения надо указать начальные данные, т. е. должно быть задано, через какую точку проходит решение. Таким образом, семейство решений есть однопараметрическое семейство кривых:

.            (**)

Если из (**) соответствующим выбором  можно получить любое решение, то оно называется общим решением Д. у. обыкновенных.

В теории Д. у. обыкновенных изучаются также уравнения высших порядков, а именно уравнения вида:

и системы уравнений. Как правило, решить Д. у. обыкновенные в квадратурах (т. е. в элементарных функциях и их первообразных) невозможно, поэтому для их решения широко применяются приближенные методы: метод конечных разностей, графический метод, разложение в ряды. Большое значение имеют качественные методы.

2°. Д. у. с частными производными. Их главным отличием от обыкновенных является то, что общее решение зависит не от произвольных постоянных, а от произвольных функций. Например, общим решением Д. у.  является выражение , где и — дважды дифференцируемые произвольные функции.

Типичной задачей для Д. у. с частными производными является задача Коши: найти решение  Д. у., которое при  обращается в заданную функцию , а производные до -го порядка ,  (где  — порядок уравнения по ) — в некоторые заданные функции . Обычно в такого рода задачах переменная  играет роль времени. Для уравнений порядка выше 1-го рассматриваются также краевые задачи. Д. у. с частными производными являются основным математическим аппаратом в гидромеханике, аэромеханике, теории упругости и т. п.