- е ЧИСЛО
- ЕВКЛИДА АЛГОРИТМ
- ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
- ЕВКЛИДОВО КОЛЬЦО
- ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
- ЕДИНИЦА ГРУППЫ
- ЕДИНИЦА КОЛЬЦА
- ЕДИНИЦА МНИМАЯ
- ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА
- ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. Пусть означает множество всех
упорядоченных наборов
,
состоящих из вещественных чисел (точек). Такое множество называется
арифметическим n-мерным пространством.
Функция
(*)
определенная
для любой пары точек ,
называется евклидовой метрикой на
. Значение функции
называется расстоянием между точками
. Метрика
удовлетворяет условиям:
1. для любой пары
;
2. для любой пары
;
3. (неравенство
треугольника) для любой тройки
;
4.
Если , то
.
Множество с функцией р вида (*) называется n-мерным
евклидовым пространством. Свойства 1—4 означают, что Е.п. является
метрическим пространством.
При Е.п. изоморфно (см. Изоморфизм)
пространству, определяемому аксиомами Евклида. При этом понятию «прямая»,
содержащемуся в аксиомах Евклида, соответствует: «множество точек
, удовлетворяющих
соотношениям
,
,
, где
— точка в
,
— три вещественных числа, одновременно не
равных нулю,
— вещественный
параметр,
,
задающий точку на «прямой».
Понятию «плоскость», содержащемуся в
аксиомах Евклида, соответствует: «множество точек Е.п., удовлетворяющих соотношению
,
где
, из которых три
первых
не
равны нулю одновременно».
Возможны и другие определения Е.п., эквивалентные вышеприведенному.
Термин «аксиомы Евклида» требует следующего уточнения. Система аксиом, на базе которой Евклид построил геометрию (изучаемую теперь в средней школе под названием «Элементарная геометрия»), как установлено еще в прошлом веке, является неполной. В связи с этим эта система аксиом была значительно переработана. В настоящее время имеется несколько систем аксиом, определяющих Е.п. и евклидову геометрию: аксиомы Д. Гильберта, Г. Вейля, А. Н. Колмогорова и др. Так что «аксиомы Евклида» — собирательный термин для обозначения системы аксиом Е.п.