ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. Пусть  означает множество всех упорядоченных наборов , состоящих из вещественных чисел (точек). Такое множество называется арифметическим n-мерным пространством.

Функция

              (*)

определенная для любой пары точек , называется евклидовой метрикой на . Значение функции  называется расстоянием между точками . Метрика  удовлетворяет условиям:

1.  для любой пары ;

2.  для любой пары ;

3.   (неравенство треугольника) для любой тройки ;

4. Если , то .

Множество  с функцией р вида (*) называется n-мерным евклидовым пространством. Свойства 1—4 означают, что Е.п. является метрическим пространством.

При  Е.п. изоморфно (см. Изоморфизм) пространству, определяемому аксиомами Евклида. При этом понятию «прямая», содержащемуся в аксиомах Евклида, соответствует: «множество точек , удовлетворяющих соотношениям , , , где  — точка в ,  — три вещественных числа, одновременно не равных нулю,  — вещественный параметр, , задающий точку на «прямой».

Понятию «плоскость», содержащемуся в аксиомах Евклида, соответствует: «множество точек  Е.п., удовлетворяющих соотношению

,

где , из которых три первых  не равны нулю одновременно».

Возможны и другие определения Е.п., эквивалентные вышеприведенному.

Термин «аксиомы Евклида» требует следующего уточнения. Система аксиом, на базе которой Евклид построил геометрию (изучаемую теперь в средней школе под названием «Элементарная геометрия»), как установлено еще в прошлом веке, является неполной. В связи с этим эта система аксиом была значительно переработана. В настоящее время имеется несколько систем аксиом, определяющих Е.п. и евклидову геометрию: аксиомы Д. Гильберта, Г. Вейля, А. Н. Колмогорова и др. Так что «аксиомы Евклида» — собирательный термин для обозначения системы аксиом Е.п.