ЖОРДАНА МЕРА

ЖОРДАНА МЕРА множества. Пусть дано подмножество  отрезка  действительной прямой. Разобьем отрезок  точками  на  отрезков , . Обозначим через  сумму длин всех отрезков, целиком лежащих в множестве , и через  — сумму длин всех отрезков, содержащих хотя бы одну точку множества . Назовем внешней мерой по Жордану множества  (символически ) нижнюю грань значений суммы  при всевозможных разбиениях отрезка. Назовем внутренней мерой по Жордану множества  (символически ) верхнюю грань значений суммы  при всевозможных разбиениях отрезка. Если для множества  его внешняя и внутренняя меры совпадают, то множество  называется измеримым по Жордану, а общее значение ) называется Ж. м. множества  (символически ).

Ж- м. легко обобщается с одномерного случая на двумерный, трехмерный и т. д., что приводит к понятиям площади и объема. В этих случаях вместо отрезков рассматриваются прямоугольники и параллелепипеды соответственно. Однако, несмотря на естественность конструкции Ж- м., она оказалась недостаточной ввиду узости класса множеств, измеряемых по Жордану. Например, легко показать, что множество всех рациональных точек отрезка  неизмеримо по Жордану. Более плодотворным оказалось понятие меры, предложенное французским математиком А. Лебегом (см. Лебега мера).