ИЗОМОРФИЗМ

ИЗОМОРФИЗМ — одно из важнейших понятий современной математики, возникшее первоначально в теории групп и вообще в алгебре (кольца, поля и т. д.), а затем перенесенное в математическую логику, общую теорию алгебраических систем и другие разделы математики. Сначала определим понятие И. для групп. Две группы  и  называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие , такое, что равенство  в группе  выполняется тогда и только тогда, когда в группе  выполнено равенство  . А само взаимно однозначное соответствие (или отображение)  в этом случае называется И. между группами  и . Заметим, что при И. групп единице группы  соответствует единица группы , а обратный элемент соответствует обратному, т. е. . Таким образом, с точки зрения изучения свойств групповой операции изоморфные группы одинаковы. Термин И. происходит от греческих слов  — равный, одинаковый, подобный и  — вид, форма.

В общем случае И. определяется для алгебраических систем. Пусть даны две алгебраические системы  и , и существует взаимно однозначное соответствие  между элементами носителей  и , множествами операций  и  и множествами предикатов  и , сохраняющее арности операций и предикатов. Взаимно однозначное соответствие  называется И. между алгебраическими системами  и  тогда и только тогда, когда для любых , , ,  и им соответствующих по  , , ,  выполняется соотношение  и предикаты и  верны или неверны одновременно.

Частный случай И., когда  т. е. когда  отображает алгебраическую систему  на себя, называется автоморфизмом.