ИНДУКЦИЯ

ИНДУКЦИЯ — форма мышления, посредством которой мысль наводится на какое-либо общее утверждение или положение, присущее всем единичным предметам определенной совокупности. И. часто используется в сочетании с другой формой мышления — дедукцией. В математике под И. (индуктивным умозаключением) понимают следующие четыре вида И.

1°. И. неполная — заключение (вывод) от частного к общему, т. е. общий вывод, основанный на изучении отдельных, частных фактов (частных наблюдений или экспериментов).

Примеры.

1. Рассмотрим числа вида (числа Ферма), давая переменной значения 1, 2, 3; получим соответственно простые числа 5, 17, 257. Используя И. н., можно сделать вывод: все числа вида — простые. Но вывод оказался неверным: уже при число , как доказал Эйлер, делится на 641.

2. Построив графики конечного числа линейных уравнений с двумя переменными, например и , и убедившись в том, что графики этих уравнений в прямоугольной декартовой системе координат представляют собой прямые линии, мы на основании И. н. можем заключить, что графиком всякого уравнения вида в той же системе координат будет прямая линия. Этот вывод верный (его можно доказать, например, в аналитической геометрии).

Как мы видели, И. н. может привести как к верным, так и к неверным выводам. И. н. часто называется индуктивным методом или короче — индукцией или несовершенной индукцией.

Лат.: induction — наведение.

2°. И. полная — вывод, основанный на рассмотрении всех частных фактов (объектов, фигур, чисел) или всех элементов конечного множества.

Пример И. п. При доказательстве теоремы об измерении величины вписанного в окружность угла рассматриваются все частные случаи расположения центра окружности по отношению к сторонам угла (центр окружности лежит на одной из сторон; центр лежит внутри угла и центр лежит вне вписанного угла). Поэтому полученный вывод (заключение) будет представлять собой полную И. Вывод, сделанный на основании применения полной И., будет всегда верным.

Утверждения, основанные на применении полной И., всегда истинны. И. п. иначе называется совершенной индукций.

3°. И. математическая — один из важнейших методов доказательства утверждений в математике, основанный на принципе (аксиоме) математической индукции. Принцип И. м. состоит в следующем: если предложение , где , истинно для и из предположения о том, что оно истинно для некоторого натурального числа , вытекает, что оно истинно для следующего числа , то предложение верно для любого .

Доказательство, основанное на принципе И. м., называется методом математической И.; этот метод доказательства состоит из двух частей: в первой из них доказывается (проверяется) истинность высказывания , во второй предполагают, что верно при , и доказывают истинность высказывания при , т. е. во второй части доказательства устанавливают . После чего утверждается истинность предложения для всякого .

Пример применения метода математической И. Докажем справедливость равенства:

(*)

при .

1. Для высказывание истинно.

2. Докажем, что . Предположим, что равенство (*) верно при , докажем, что оно верно и при :

Упрощая последнюю дробь, получим:

(**)

Следовательно, равенство (*) справедливо для любого И. м. широко используется в математике при выводе множества формул (прогрессий, формулы Ньютона, логарифмов, комбинаторики и др.). Она является строгим, дедуктивным методом доказательства, но, как и всякая дедукция, включает в себя элемент индукции: непосредственную проверку рассматриваемого утверждения для .

4°. И. трансфинитная — обобщение метода математической индукции. И. т. состоит в следующем: пусть дано некоторое вполне упорядоченное множество (его можно считать множеством всех трансфинитов, меньших некоторого данного) и некоторое утверждение , сформулированное для каждого , и такое, что верно для первого элемента из и верно для , если оно верно для всех элементов, предшествующих . Тогда верно для всех элементов .